Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wzory całek wybranych funkcji

W tabeli poniżej przedstawiamy wzory całek nieoznaczonych wybranych ważniejszych funkcji elementarnych. Całkowanie bardzo często dostarcza wielu problemów dlatego wychodząc Państwu naprzeciw prezentujemy bazę przykładowych całek, którą będziemy nieustannie rozwijać. Proszę pamiętać jednak, że istnieją całki, których nie da się rozwiązać (jedynie udowodnić jej nierozwiązywalność). Można wtedy próbować przybliżać daną funkcję.

Wzór funkcji
Całka funkcji
\(f(x) = a\) \( \int a \: dx = ax + C\)
\(f(x) = x\) \(\int x dx = \dfrac{1}{2} x^2 + C\)
\(f(x) = x^n\) \(\int x^n dx = \dfrac{1}{n + 1} x^{n+1} + C\), dla \(n \neq -1\)
\(f(x) =\dfrac{1}{x}\) \(\int \dfrac{1}{x} dx =ln\left | x \right | + C\)
\(f(x) =a^x\) \(\int a^x \: dx = \dfrac{1}{ln \: a}a^x + C\)
\(f(x) =ln \: x\) \(\int ln \: x \: dx = (x-1) \: ln \: x + C\)
\(f(x) =log_a x\) \(\int \: log_a x\ dx = \dfrac{x}{ln \: a}(ln \: x - 1) + C\)
\(f(x) =e^x\) \(\int e^x \: dx = e^x + C\)
\(f(x) =\sqrt{x}\) \(\int \sqrt{x} \: dx = \dfrac{2}{3} \sqrt{x^3} + C\)
\(f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \: dx =2 \sqrt{x} + C\)
\(f(x) =\dfrac{1}{ax +b}\) \(\int \dfrac{1}{ax +b} dx = \dfrac{1}{a} ln \left |ax +b  \right |+ C\), dla \(a \neq 0\)
\(f(x) = sin \: x\) \(\int sin \: x \: dx = - cos \: x + C\)
\(f(x) = cos \: x\) \(\int cos \: x \: dx =  sin \: x + C\)
\(f(x) = tg \: x\) \(\int \: tg \: x \: dx =  -ln \left| cos \: x \right|+ C\)
\(f(x) = ctg \: x\) \(\int \: ctg \: x \: dx =  ln \left| sin \: x \right|+ C\)
\(f(x) = \dfrac{1}{cos^2 x}\) \(\int \: \dfrac{1}{cos^2 x} \: x \: dx = tg \: x + C\), gdy \(cos \: x \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{sin^2 x}\) \(\int \: \dfrac{1}{sin^2 x} \: x \: dx =-ctg \: x + C\), gdy \(sin \: x \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2 +a^2}\) \(\int \: \dfrac{1}{x^2 + a^2} dx =\dfrac{1}{a} arc \: tg \dfrac{x}{a} + C\), dla \(a \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) \(\int \:  \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = arc \: sin \dfrac{x}{a} + C\), dla \(a \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) \(\int \:\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = ln \left| x+ \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C\)
\(f(x) = (ax + b)^n\) \(\int \: (ax + b)^n dx = \dfrac{1}{a(n+1)} (ax + b)^{n+1} + C\) dla \(n \neq -1\)
\(f(x) = \dfrac{1}{a^2 - x^2}\) \(\int \dfrac{1}{a^2 - x^2} dx = \dfrac{1}{2a}ln \left|\dfrac{a+x}{a-x} \right| +C\), dla \(a>0 \: i \: \left|x \right| \neq a\)
\(\int ln \: x \: dx = (x-1) \: ln \: x + C\)
log_a x\
W tabeli poniżej przedstawiamy wzory całek nieoznaczonych wybranych ważniejszych funkcji elementarnych. Całkowanie bardzo często dostarcza wielu problemów dlatego wychodząc Państwu naprzeciw prezentujemy bazę przykładowych całek, którą będziemy nieustannie rozwijać. Proszę pamiętać jednak, że istnieją całki, których nie da się rozwiązać (jedynie udowodnić jej nierozwiązywalność). Można wtedy próbować przybliżać daną funkcję.