Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

"Temu, co rzeczywiste, nie można zagrozić. To, co nierzeczywiste, nie istnieje. Na tym polega pokój Boga." Kurs Cudów

Metoda przeciwnych współczynników

Aby rozwiązać układ równań tą metoda należy doprowadzić równania do postaci, gdy przy jednej zmiennej w równaniach znajdują się przeciwne współczynniki (np. 6x oraz -6x; 5y oraz -5y ; x oraz –x).

Przykład

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5y=17\\
2x-3y=5
\end{matrix}\right.\)

W równaniach przy zmiennej \(x\) mamy współczynniki \(3\) oraz \(2\).Aby z tych liczb uzyskać przeciwne współczynniki trzeba znaleźć jakby wspólny mianownik liczb(3\) i \(2\). Oczywiście tym czynnikiem będzie \(6\). Pierwsze równanie pomnożymy przez \(2\), drugie równanie pomnożymy przez \(-3\). W ten sposób otrzymamy przy zmiennej \(x\) współczynniki \(6\) oraz \(-6\).

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5y=17\:\: / \:\cdot 2\\
2x-3y=5\:\: / \:\cdot (-3)
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
6x+10y=34\\
-6x+9y=-15
\end{matrix}\right.\)

Następnie dodajemy równania stronami w następujący sposób:

\(\underline{\begin{matrix}
\\ + \end{matrix}
\left\{\begin{matrix}
6x+10y=34\\
-6x+9y=-15
\end{matrix}\right.} \)
\(6x-6x+10y+9y=34-15\)

Niewiadome z \(x\)-em redukują się, otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą, a następnie je rozwiązujemy:

\(10y+9y=34-15\)

\(19y=19\)

\(y=1\)

Po obliczeniu pierwszej niewiadomej, wstawiamy jej wartość do dowolnego równania, i obliczamy wartość drugiej niewiadomej:

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5y=17\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5\cdot 1=17\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5=17\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x=17-5\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x=12\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
x=4\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

Taki zapis jest rozwiązaniem układu równań. Rozwiązanie można również zapisać w postaci \(x=4\) i \(y=1\).
Zarówno metoda podstawiania, jak i metoda przeciwnych współczynników, mają swoje zalety i wady i nie można wskazać lepszej. Układy równań można również rozwiązywać metodą wyznaczników. Uogólnioną metodą rozwiązywania wielu równań z wieloma niewiadomymi jest twierdzenie Cramera. Dwa równania z dwiema niewiadomymi można również rozwiązywać metodą graficzną.

Przykładowe zadania

Zad. 1) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\(\left\{\begin{matrix}
x+2y=8\\
3x-4y=-6
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
3x-2y=-16\\
5x+3y=5
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
5x-y=8\\
3x+2y=-3
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
-x-y=3\\
x+y=-3
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie 

Zad. 5) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
5x+6y=-28\\
7x+8y=-38
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie