Pewność, że Bóg istnieje, pewność, która nadaje sens życiu, jest znacznie bardziej pociągająca niż możność czynienia zła bezkarnie. Albert Camus

Twierdzenie Cramera


Twierdzenie Cramera używamy do rozwiązywania układów równań liniowych. Jednak można je stosować tylko i wyłącznie do równań w których ilość niewiadomych jest równa ilości równań. Metodą łatwiejszą przy rozwiązywaniu dużych układów równań jest eliminacja Gaussa lub metoda Gaussa-Jordana, jeszcze innym sposobem rozwiązania układu jest zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązywania układów równań.

Główne zasady w twierdzeniu Cramera to:

 - jeśli wyznacznik główny jest różny od zera \(W \neq 0\) to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie,

 - jeśli wyznacznik główny i wszystkie wyznaczniki szczególne są równe zero \( W=  0 \), \(W_x = 0\), \(W_y =0\), ..., \(W_w=0\), to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań,

 - jeśli wyznacznik główny jest równy zero, a któryś (przynajmniej jeden) z wyznaczników szczególnych jest różny od zera, to układ jest sprzeczny.


Mając dany układ \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi \(x_1, x_2, \: ..., \: x_n\):

\(\begin{cases} a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y \: \: + ... + \: \: a_{1n} \cdot w = \: b_1 \\ a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y \: \: + ... + \: \: a_{2n} \cdot w = \: b_2 \\ \: \: \: \: \: \vdots \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:  \vdots \: \: \: \: \: \:  \ddots \: \: \: \: \: \:  \: \: \vdots \: \:  \: \: \: \: \: \: \: \vdots\\ a_{n1} \cdot x + a_{n2} \cdot y \: + ... + \: a_{nn} \cdot  w = b_n\end{cases}\)

Wyjaśnienie symboli:

\(a_{11},  \: ... ,\:  a_{n}\) - współczynniki równania

\(b_1, ... , \: b_n\) - wyrazy wolne

\(x, y, ..., \: w\) - niewiadome równania

Oznaczamy przez \(W\) tzw. wyznacznik główny macierzy:

\(W = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ...  & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}  & ...  & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \: \ddots & \vdots \\  a_{n1} & a_{n2} &  ... & a_{nn}\end{vmatrix}\),


przez \(W_x,\:\:W_y,\:\:W_z,\:\:\:...,\:\:\: W_w\) wyznaczniki powstałe z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim \(k\)-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

wyznaczniki szczegołowe wyznaczamy w sposób:

\(W_x = \begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
b_2 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
b_3 & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_n & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)


\(W_y = \begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & b_2 & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & b_3 & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & b_n & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)


\(W_z = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & b_2 & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & b_3 & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)

\( \vdots\)

\(W_w = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & b_1\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & b_2\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & b_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & b_n
\end{vmatrix}\)


Jeżeli wyznacznik \(W \neq 0\), to powyższy układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie potaci:


 \( \left\{\begin{matrix}
x= \dfrac{W_{x}}{W}\\
\\
y= \dfrac{W_{y}}{W}\\ \\
z= \dfrac{W_{z}}{W}\\
\vdots \\
w= \dfrac{W_{w}}{W}
\end{matrix}\right.\)

Jeśli w powyższym układzie równań mamy \(b_1 = b_2 = \: ... \: = b_n = 0\), to otrzymujemy tzw. układ równań liniowych jednorodnych z \(n\) niewiadomymi. Układ ten posiada zawsze rozwiązania zerowe.

Przykład:

Aby rozwiązać poniższy układ równań:

\(\begin{cases} 2x - y - z =4\\ 3x + 4y - 2z = 11\\ 3x - 2y + 4z = 11\end{cases}\)

najpierw musimy obliczyć wartość wyznacznika głównego w następujący sposób:

\(\begin{cases} {\color{DarkRed}2}x {\color{DarkRed}{-1}} y {\color{DarkRed}{-1}} z = {\color{blue}4}\\ {\color{DarkRed}3}x + {\color{DarkRed}4}y {\color{DarkRed}{- 2}}z = {\color{blue}{11}}\\ {\color{DarkRed}3}x {\color{DarkRed}{- 2}}y + {\color{DarkRed}4}z = {\color{blue}{11}}\end{cases}\)

Najpierw od drugiej kolumny odjęto kolumnę trzecią, a następnie do drugiego wiersza dodano trzeci wiersz, następnie wyznacznik główny w tym przypadku obliczymy stosując rozwinięcie Laplace'a:

\(W = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{DarkRed}{-1}} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{DarkRed}3} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{DarkRed}{-2}} \\ {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-2}} & \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 & \: \: \: 0 & -1\\ 3 & \: \: \: 6 & -2\\ 3 & -6 & \: \: \: 4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 & \: \: \: 0 & -1\\ 6 & \: \: 0 & \: \: 2\\ 3 & -6 & \: \: \: 4\end{vmatrix}\)

\(W= (-1)^{3+2} (-6) \begin{vmatrix}2 &  -1\\ 6 & \: \:    \: \: 2\end{vmatrix} = 60\)


 Analogicznie można obliczyć pozostałe znaczniki:

\(W_x = \begin{vmatrix}{\color{blue}4} & {\color{DarkRed}{-1}} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{blue}{11}} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{DarkRed}{-2}}\\ {\color{blue}{11}} & {\color{DarkRed}{-2}} & \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = 180\) ,\(W_y = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{blue}4} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{DarkRed}3} & {\color{blue}{11}} & {\color{DarkRed}{-2}}\\ {\color{DarkRed}2} & {\color{blue}{11}} & \: \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = 60 \)

\(W_z = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{DarkRed}{-1}} & \: {\color{blue}4}\\ {\color{DarkRed}3} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{blue}{11}}\\ {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-2}} & {\color{blue}{11}}\end{vmatrix} = 60\)

Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy:

\(x = \dfrac{W_x}{W} = 3, \: \: y=\dfrac{W_y}{W} = 1, \: \: z =\dfrac{W_z}{W} =1\)