Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

"Temu, co rzeczywiste, nie można zagrozić. To, co nierzeczywiste, nie istnieje. Na tym polega pokój Boga." Kurs Cudów

Wykres funkcji kwadratowej

Wykres każdej funkcji kwadratowej nazywany jest parabolą. Każda parabola składa się z dwóch ramion. Jeżeli funkcja w postaci \(f(x)=ax^2+bx+c\) posiada współczynnik \(a>0\) większy od zera, to ramiona paraboli skierowane są do góry, np.:

Funkcja kwadratowa

Jeżeli funkcja posiada współczynnik \(a<0\) mniejszy od zera, to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi, np.:

Funkcja kwadratowa

Każda parabola posiada swój wierzchołek, jest to punkt najdalej wysunięty. Wierzchołek jest również miejscem, w którym funkcja kwadratowa zmienia się z rosnącej na malejącą lub z malejącej na rosnącą.

Współrzędne wierzchołka paraboli to \(W=(p;q)\), dla funkcji kwadratowej w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\) to:

\(p=-\frac{b}{2a}\)

\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to:

\(f(x)=a(x-p)^2+q\)

W łatwy sposób możemy z niej odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.

Przykład

\(f(x)=(x-{\color{Green}{2}})^2+{\color{Green} {5}}\)

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \((2;5)\).

Własności funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\):

1) Dziedzina – wszystkie liczby rzeczywiste - \(D_f=R\)

2) Zbiór wartości

– dla \(a>0\) - \(ZW=\left \langle -\frac{\Delta}{4a};+\infty \right )\)

– dla \(a<0\) - \(ZW=\left ( -\infty;-\frac{\Delta}{4a} \right \rangle\)

3) Miejsca zerowe z zależności od Δ

- dla \(\Delta>0\) – dwa miejsca zerowe \(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\),

- dla \(\Delta=0\) – jedno miejsce zerowe \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\),

- dla \(\Delta<0\) – brak miejsc zerowych,

4) punkt przecięcia z osią OY to \((0;c)\)

5) monotoniczność w zależności od parametru \(a\):

- dla \(a>0\) - funkcja rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)

- dla \(a<0\) - funkcja maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)

6) Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(p;q)\) gdzie:

\(p=-\frac{b}{2a}\)

\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)

7) Funkcja nie jest różnowartościowa

Są to uniwersalne dane dla każdej funkcji kwadratowej, określenie wartości dodatnich i ujemnych, parzystości, etc., rozpatruje się na konkretnych przypadkach, ponieważ opisanie ich w postaci uniwersalnej byłoby dość skomplikowane.

Przykładowe zadania
Zad. 1) Czy podana funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane w górę czy w dół, podaj miejsce przecięcia z osią OY
a) \(f(x)=x^2-8x+12\)

b) \(f(x)=-x^2+5x-4\)

c) \(f(x)=x^2-2x\)

d) \(f(x)=x^2\)

e) \(f(x)=x^2+6x+10\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Podaj współrzędne wierzchołka paraboli:
a) \( f(x)=x^2+3x-2\)

b) \( f(x)=x^2+4x+4\)

c) \( f(x)=2x^2-12x-6\)

d) \( f(x)=-x^2+x-8\)

e) \(f(x)=x^2+8x-15\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Zbadaj monotoniczność funkcji kwadratowej.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)

b) \(f(x)=5x^2-2=\)

c) \(f(x)=x^2-3x-7\)

d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)

e) \(f(x)=90+x^2-3x\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Oblicz zbiór wartości funkcji kwadratowej:
a) \(f(x)=x^2+3x-2\)

b) \(f(x)=x^2+4x+4\)

c) \(f(x)=2x^2-12x-6\)

d) \(f(x)=-x^2+x-8\)

e) \( f(x)=x^2+8x-15\)      Zobacz rozwiązanie