Temu, co rzeczywiste, nie można zagrozić. To, co nierzeczywiste, nie istnieje. Na tym polega pokój Boga. Kurs Cudów

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Rozwiązywanie równań kwadratowych wymaga znajomości rozwiązywania równań liniowych.
Liczbę rozwiązań równania kwadratowego określa się w zależności od wartości Δ (delta). Mając równanie kwadratowe w postaci \(ax^2+bx+c=0\), określa się wartość parametru Δ z wzoru:
\(\Delta=b^2-4ac\)
Pierwiastki (rozwiązania) równania w zależności od wartości delty (\(\Delta \):

- jeżeli Δ > 0, to równanie kwadratowa ma dwa miejsca zerowe:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

- jeżeli Δ = 0, to równanie kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce rozwiązanie:
\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)
- jeżeli Δ < 0, to równanie kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Schemat rozwiązywania równań kwadratowych.
- Pierwszą operacją jest przeniesienie na jedną stronę (najczęściej na lewą) wszystkich wyrażeń.
- Następnie przystępujemy do uproszczenia całego równania, czyli wymnożenia wszystkich możliwych elementów, dodania lub odjęcia wyrazów, aż do otrzymania postaci \(ax^2+bx+c=0\) gdzie \(a;b;c\) to dowolne liczby, np. \(2; \frac{1}{2}; 2\sqrt{5};\frac{3\sqrt{7}}{8}\).
- Następnie przystępujemy do obliczenia Δ. W zależności od wartości \(\Delta \) obliczamy miejsca zerowe \(x_1\) oraz \(x_2\).
Przykład
\(-2x^2=2(4x-5)\)

Zgodnie ze schematem, wszystkie elementy równania przenosimy na lewą stronę.

\(-2x^2-2(4x-5)=0\)

Następnie wymnażamy, dodajemy itd., aby otrzymać równanie w postaci \(ax^2+bx+c=0\)

\(-2x^2-8x+10=0\)

Z powyższego równania łatwo zauważyć, że współczynniki wynoszą:
\(a=-2\)

\(b=-8\)

\(c=10\)
Przystępujemy do wyznaczenia \(\Delta\).
\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=(-8)^2-4\cdot (-2)\cdot 10=64+80=144\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12\)

Delta jest większa od zera, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania, obliczamy je więc:
\(x_1=\frac{-(-8)-12}{2\cdot (-2)} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-8)+12}{2\cdot (-2)}\)

\(x_1=\frac{-4}{-4} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{20}{-4}\)

\(x_1=1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-5\)
Rozwiązaniem powyższego równania kwadratowego są dwie liczby \(1\) oraz \(-5\).

Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(x^2-3x-4=0\)

b) \(x^2-4=0\)

c) \(x^2-7x=0\)

d) \(5x^2+6x+1=0\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(6x^2+11x-35=0\)

b) \(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)

c) \(3x^2-10x+5=0\)

d) \(x^2+4x+5=0\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(x(x+2)=x^2-(x-1)^2\)

b) \((x-4)(x+4)+x^2=(x+3)^2\)

c) \((x-1)(2-x)=(3-2x)(x-2)+9\)

d) \((x-1)^2-(x+2)^2+(x-3)^2=6\)      Zobacz rozwiązanie