Nie masz jeszcze u Nas konta? Zarejestruj się | Zaloguj się

akceptuje  /  zamknij

Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Naukowiec.org

Nauka dla wszystkich




reklama sponsorowana

reklama sponsorowana

Asymptota pionowa

>> Masz problem z rozwiązaniem zadania? Kliknij tutaj <<


Zanim zaczniemy szukać asymptot, musimy znać lub wyznaczyć dziedzinę funkcji. Następnie w miejscach nieciągłości szukamy naszych asymptot pionowych. Moim zdaniem dziedzinę funkcji najlepiej zapisać w postaci przedziałów, bo na końcach przedziałów będziemy szukać asymptot. Tak więc w przypadku funkcji \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) najpierw musimy wyznaczyć dziedzinę funkcji, mamy ułamek więc to co w mianowniku (na dole ułamka) nie może być równe zero, czyli

\(x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1\),
 
czyli dziedziną funkcji w tym przypadku będzie \(D_f=(-\infty;1)\cup (1;+\infty)\), a to oznacza, że asymptot będziemy szukali w plus i minus nieskończoności oraz z prawej i lewej strony liczby jeden, asymptoty w plus i minus nieskończoności wyznaczają nam asymptoty poziome lub ukośne (tym zajmiemy się w następnym artykule), wszystkie inne liczby z dziedziny służą do wyznaczania asymptot pionowych, w naszym przypadku liczba jeden po prawej i lewej stronie. Mamy więc punkty podejrzane o występowanie asymptoty \(1^-\) oraz \(1^+\), aby sprawdzić czy istnieje w nich asymptota należy obliczyć granicę funkcji właśnie w tych punktach, więc:

\(\lim\limits_{x \to 1^-}\:\:\dfrac{1}{x-1}\) oraz \(\lim\limits_{x \to 1^+}\:\:\dfrac{1}{x-1}\)

jedną granicę postaram się dość jasno przedstawić:

\(\lim\limits_{x \to 1^+}\:\:\dfrac{1}{x-1}= \dfrac{1}{1^+-1}=\dfrac{1}{0^+}=\dfrac{1}{\frac{1}{+\infty}}=+\infty\) 

jeśli granica funkcji w punkcie podejrzanym o występowanie asymptoty wynosi plus lub minus nieskończoność to funkcja ma asymptotę pionową lewostronną, prawostronną lub obustronną.
wyjaśnienie: najpierw za \(x\) wstawiamy po prostu \(1^+\), następnie - trochę więcej niż jeden odjąć jeden da nam trochę więcej niż zero - (mam nadzieję, że jest to jasne, bo właśnie to jest najtrudniejsze w granicach), teraz trzeba zrozumieć, że \(0^+\) czyli troszkę więcej niż zero, najłatwiej zrozumieć ile to jest przez wyobrażenie sobie odcinka (może być nitka, czy patyk) a następnie podzielenie go na pół, potem jeszcze raz na pół, i jeszcze raz i jeszcze raz, i tak w nieskończoność, dlatego też liczbę \(0^+\) możemy zapisać jako \(0^+=\dfrac{1}{+\infty}\), gdy już to pojmiemy pozostaje nam pozbycie się jednej kreski ułamkowej, dzielenie to odwrotność mnożenie, czyli \(\dfrac{1}{\frac{1}{+\infty}}=\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{+\infty}{1}=+\infty \). podsumowując tok rozumowania

\(1^+-1=0^+=\dfrac{1}{+\infty}\)

oraz

 \(\dfrac{1}{\frac{1}{+\infty}}=\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{+\infty}{1}=+\infty \)

tak więc dla argumentu \(x=1\) funkcja posiada asymptotę pionową prawostronną (prawostronna bo jedynka była z plusem czyli z prawej strony liczby jeden, jeśli byłby minus byłaby lewostronna)

następnie liczymy granicę funkcji w punkcie \(1\) analogicznie jak wcześniej:

\(\lim\limits_{x \to 1^-}\:\:\dfrac{1}{x-1}= \dfrac{1}{1^--1}=\dfrac{1}{0^-}=\dfrac{1}{\frac{1}{-\infty}}=-\infty\)

to znaczy, że nasza funkcja w punkcie \(1\) ma asymptotę pionową lewostronną. Jeśli mamy w jednym punkcie asymptotę prawostronną oraz lewostronną to możemy powiedzieć, że w tym punkcie mamy asymptotę obustronną, jak i w naszym przypadku. Więcej asymptot pionowych nasza funkcja nie ma, bo w dziedzinie nie ma więcej przedziałów wskazujących inne punkty podejrzane u występowanie asymptoty.

Podsumowując:

Funkcja \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) posiada dziedzinę, która wynosi \(D_f=(-\infty;1)\cup (1;+\infty)\), wskazuje to nam, że dla argumentu \(x=1\) funkcja może mieć asymptoty prawo i lewostronną, po obliczeniu granic funkcji w punkcie \(1^+\) oraz \(1^-\) otrzymujemy: \(\lim\limits_{x \to 1^+}\:\:\dfrac{1}{x-1}=+\infty\) oraz \(\lim\limits_{x \to 1^-}\:\:\dfrac{1}{x-1}=-\infty\), co jednoznacznie wskazuje, że funkcja ma asymptotę pionową obustronną o
równaniu: 

\(x=1\).

Schemat obliczania asymptoty pionowej:

Dla danej funkcji musimy mieć lub obliczyć dziedzinę funkcji oraz dla ułatwienia zapisać ją w postaci przedziałów, np. \(D_f=(-\infty;-6)\:\cup <-5;-1)\cup (3;+\infty)\). Miejsca nieciągłości w dziedzinie funkcji nazywamy podejrzanymi o posiadanie asymptoty pionowej (w przykładzie \(-6^-;\:-1^-;\:3^+\), nie bierzemy pod uwagę plus i minus nieskończoności (służą one do wyznaczania asymptot poziomych i ukośnych), następnie obliczamy granicę funkcji dążącą do punktu podejrzanego: \(\lim\limits_{x \to -6^-}f(x)\:\:;\:\:\lim\limits_{x \to -1^-}f(x)\:\:;\:\:\lim\limits_{x \to 3^+}f(x)\). Jeśli z granicy wyjdzie nam plus lub minus nieskończoność to w danym punkcie mamy asymptotę pionową np. jeśli \(\lim\limits_{x \to -6^-}f(x)=+\infty\) to mielibyśmy asymptotę pionową lewostronną (bo \(6^-\)) o równaniu \(x=6\).


Komentarze (0):

Brak komentarzy.

reklama sponsorowana

x

Naukowiec.org na facebooku

Nie czekaj dłużej! Dołącz już teraz do społeczności naukowiec.org na facebooku

Trwa ładowanie wtyczki..
Zamknij