Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Asymptota pozioma i ukośna

Aby obliczyć asymptoty poziome i ukośne najpierw musimy znać lub obliczyć dziedzinę funkcji, a w dziedzinie musi być nieskończoność (plus lub minus), jeśli dziedziną jest np. \(D_f=<1;8)\) czyli nie mamy nieskończoności to znaczy, że nie ma asymptoty poziomej ani ukośnej (może być ewentualnie asymptota pionowa). Jeśli mamy dziedzinę funkcji \(D_f=R\:\setminus\{3\}\) to możemy zapisać to inaczej \(D_f=(-\infty;3)\:\cup\:(3;+\infty)\) czyli mamy nieskończoności więc mogą być asymptoty poziome, ukośne. Może się zdążyć, że będziemy mieli tylko np.\(D_f=(3;+\infty)\) wtedy będziemy szukali asymptoty tylko prawostronnej (bo \(+\infty\) ). Gdy mamy to jasne przejdźmy dalej.

Jak szukać asymptoty, no właśnie tu mamy dwa sposoby, możemy zacząć od szukania asymptoty poziomej (liczy się łatwiej od ukośnej) - jeśli wyjdzie to mamy trochę czasu zaoszczędzone, jednak jeśli nie to liczymy od nowa ukośne, gdy zaczniemy od ukośnej (liczy się trochę dłużej) na pewno nie wrócimy do poziomej bo sama ewentualnie wyjdzie, ale jeśli wyjdzie tylko pozioma to się narobimy więcej niż potrzeba, mnie w szkole uczyli pierwszego sposobu, czyli najpierw pozioma a potem ewentualnie ukośna. Cały dylemat wynika z tego, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej (tak jak kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta).

Schemat obliczania asymptoty poziomej:

jeśli: \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=a_1\) to funkcja ma asymptotę poziomą lewostronną o równaniu \(y=a_1\)

jeśli \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=a_2\) to funkcja ma asymptotę poziomą prawostronną o równaniu \(y=a_2\)

czyli gdy mamy funkcję \(f(x)=\dfrac{4x}{2x+8}\) to wiemy, że dziedzina jest równa \(D_f=(-\infty;-4)\:\cup\:(-4;+\infty)\), czyli mamy plus i minus nieskończoność, i takie granice będziemy liczyli:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)=\dfrac{4x}{2x+8}=2\) 

tak więc mamy asymptotę poziomą prawo i lewo stronna, czyli obustronną o równaniu \(y=2\)

Schemat obliczania asymptoty ukośnej:

aby obliczyć wzór asymptoty ukośnej \(y=ax+b\) potrzebujemy współczynników \(a\), oraz \(b\), obliczanie zaczynamy od szukania wzoru asymptoty prawostronnej (jeśli w dziedzinie mamy plus nieskończoność):

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\) 

jeśli wyjdzie nam liczba inna niż nieskończoność (może być też zero) to liczymy dalej, jeśli wyjdzie nam nieskończoność (obojętnie plus czy minus nieskończoność) to nie ma asymptoty ukośnej. Gdy wyszło nam \(a\) przechodzimy do obliczenia \(b\):

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}(f(x)-ax)=b\)

jeśli wyjdzie nam \(b\) to możemy powiedzieć, że nasza funkcja ma asymptotę ukośną prawostronną o równaniu \(y=ax+b\). Analogicznie liczymy asymptotę lewostronną, wszystko pokolei tak samo tylko dal minus nieskończoności (bardzo często się zdarza, że granice dla plus i minus nieskończoności wynoszą tyle samo - dlatego czasem liczy sie granice od razu dla plus i minus nieskończoności).

dla przykładu gdy mamy funkcję \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x+1}\), najpierw określamy dziedzinę, która wynosi \(D_f=(-\infty,-1)\:\cup\:(-1;+\infty)\), więc liczymy asymptotę ukośną od razu dla plus i minus nieskończoności z wzoru:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{\frac{2x^2}{x+1}}{x}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{2x^2}{x^2+x}=2\)

a więc nasz współczynnik kierunkowy wynosi \(a=2\), teraz liczymy \(b\) z wzoru:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}(f(x)-ax)=b\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}(\dfrac{2x^2}{x+1}-2x)=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{2x^2-2x^2-2x}{x+1}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{-2x}{x+1}=-2\)

więc nasze \(b=-2\), tak więc funkcja posiada asymptotę ukośną obustronną \(y=2x-2\).

Przykładowe zadania

Zad. 1) Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{10x-17}{2x+40}\).      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+5x+8}\).      Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=2x+\dfrac{5}{x}\).      Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}\).      Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{2x^3+3x^2-6x-9}{x^3-90x^2-16x+500}\).      Zobacz rozwiązanie