Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Ciąg arytmetyczny


Ciąg arytmetyczny jest to ciąg liczbowy, którego każdy następny wyraz powstaje przed dodanie do poprzedniego stałej wartości liczbowej r, konsekwencją tego jest stała wartość różnicy między dwoma kolejnymi wyrazami an+1 - an = r gdzie liczbę r nazywamy różnicą ciągu.

Definicja

\(\bigvee\limits_{r} \bigwedge\limits_{n\:\epsilon N} a_{n+1}=a_n+r\)

Jeżeli istnieje taka liczba r, że dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych wyraz następny ciągu jest równy sumie wyrazowi poprzedniemu oraz liczby r.


Aby zdefiniować ciąg arytmetyczny wystarczy wskazać pierwszy wyraz ciągu (a1) oraz różnicę ciągu (r).

Przykład ciągu arytmetycznego 

1)  a1=4 ; r=1 ;          4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11;...

2)  a1=0 ; r=5 ;          0; 5; 10; 15; 20; 25; 30;...

3)  a1=20 ; r=-8 ;       20; 12; 4; -4; -12; -20; -28;...

Często przedstawia się ciąg za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

gdzie:

\(a_n\) - n-ty wyraz ciągu arytmetycznego,

\(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,

\(n\) - numer rozpatrywanego wyrazu ciągu,

\(r\) - różnica ciagu arytmetycznego,


Często używana własność ciągu arytmetycznego to:

\(a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\) dla \(n>1\)


Własność ta łączy trzy kolejne wyrazy ciągu, niekoniecznie pierwsze trzy, mogą to być np. wyraz \(a_{16};a_{17};a_{18}\).

Do obliczenia sumy n-początkowych wyrazów ciągu używamy wzoru:

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

gdzie:

\(S_n\) – suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,

\(a_1\) – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,

\(a_n\) – n-ty wyraz ciągu,

\(n\) – numer ostatniego z rozpatrywanych wyrazów ciągu



Przykładowe zadania

Zad. 1) Ciąg arytmetyczny określony jest wzorem \(a_n=-5n+2\). Ile wynosi różnica ciągu (r) oraz pierwszy wyraz ciągu (\(a_1\)).      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Podane liczby w kolejności są pierwszymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1; r; a_15, a_17\). a) 3, 7, 11, 15, 19,…    b) 5, 6, 7, 8, 9,…    c) 2, 13, 24, 35, 46,…    Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Liczby 5, 28-x, 17 w podanej kolejności są początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.      Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym. a) \(a_n=n^2+3\)      b) \(a_n=2n-5\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Liczby 4-x, 5, 6+x w podanej kolejności są początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.       Zobacz rozwiązanie

Zad. 6) Mając dane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego, wyznacz wzór ogólny tego ciągu: a) \(a_4=22 \:\:\:\: a_5=26\)       b) \(a_10=162\:\:\:\: a_11=170\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 7) Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego mając dane: a) \(a_4=32 \:\:\:\: a_8=56\)     b) \(a_7=60 \:\:\:\: a_{11}=100\)       Zobacz rozwiązanie

Zad 8) Oblicz sumę pierwszych 30 wyrazów ciągu arytmetycznego: a) 6, 12, 18, 24, …       b) 1, 9, 17, 25, …        Zobacz rozwiązanie

Zad. 9) Oblicz sumę wszystkich liczb parzystych większych od 0 i mniejszych od 100.       Zobacz rozwiązanie

Zad. 10) Sześć liczb tworzy ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb wynosi 99 oraz ostatnia z nich to 29. Podaj wartości tych liczb.       Zobacz rozwiązanie

Zad. 11) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, którego wyrazy są liczbami naturalnymi podzielnymi przez 7. Oblicz sumę wyrazów od szóstego do piętnastego.      Zobacz rozwiązanie