Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny jest to ciąg liczbowy, którego każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stała liczbę q, konsekwencją tego jest stała wartość ilorazu między dwoma kolejnymi wyrazami \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\) gdzie liczbę q nazywamy ilorazem ciągu.

Definicja

\(\bigvee\limits_{q\neq 0} \bigwedge\limits_{n\:\epsilon N} a_{n+1}=a_n\cdot q\)

Jeżeli istnieje taka liczba q różna od zera, że dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych wyraz następny ciągu jest równy iloczynowi wyrazu poprzedniego i liczby q.

Aby zdefiniować ciąg arytmetyczny wystarczy wskazać pierwszy wyraz ciągu (a1) oraz iloraz ciągu (q).

Do obliczenia ilorazu ciągu, najczęściej stosuje się przekształcenie wzoru występującego w definicji ciągu geometrycznego:

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

Przykład ciągu geometrycznego:

1) a1=1 ; q=3 ;        1; 3; 9; 27; 81; 243; 729;...

2) a1=1000 ; q=0,1 ; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001;...

można też definiować ciąg za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

gdzie:

\(a_n\) – n-ty wyraz ciągu geometrycznego,

\(a_1\) – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,

\(n\) – numer rozpatrywanego wyrazu,

\(q\) – iloraz ciągu geometrycznego,

Często używaną własnością ciągu geometrycznego jest:

\(a^2_n=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\)

Własność ta łączy trzy kolejne wyrazy ciągu, niekoniecznie pierwsze trzy, mogą to być dowolne kolejne trzy wyrazy ciągu.

Do obliczenia sumy n-początkowych wyrazów ciągu używamy wzoru:

\(S_n=a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\)

gdzie:

\(S_n\) – suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,

\(a_1\) – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,

\(q\) – iloraz ciągu geometrycznego,

\(n\) – numer ostatniego z rozpatrywanych wyrazów ciągu,


Przykładowe zadania

Zad. 1) Ciąg geometryczny określony jest wzorem \(a_n=2\cdot 5^n\). Ile wynosi pierwszy wyraz ciągu \((a_1)\) oraz iloraz ciągu \((q)\)? Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Podane liczby w kolejności są pierwszymi liczbami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a_1 \: ; q \: ; a_{10} \: ; a_{13}\).
a) 2; 4; 8; 16; 32; … b) 6, 18, 54, 162, 486, … c) 0,5; 5; 50; 500; 5000, …     Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Liczby 7, 2+6x, 28 w podanej kolejności są początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego . Oblicz x.     Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem geometrycznym.
a) \(a_n=3\cdot 4^n\) b) \(a_n=5n\)         Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Wyrażenia x-1; 3; 5x-1 w podanej kolejności są początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x.      Zobacz rozwiązanie

Zad. 6) Mając dane dwa wyrazy ciągu geometrycznego, wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu:
a) \(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\) b) \(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 7) Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego mając dane:
\(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\) b) \(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)    Zobacz rozwiązanie

Zad. 8) Oblicz sumę pierwszych 8 wyrazów ciągu geometrycznego:
a) 2, 4, 8, 16, 32, …. b) 5, 25, 125, 625, 3125, …      Zobacz rozwiązanie