Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Ciąg

Definicja

Ciąg jest to funkcja, której dziedziną jest skończona ilość liczb naturalnych lub cały zbiór liczb naturalnych, wartościami ciągu mogą być liczby, litery, znaki itd.
 
Ciąg nieskończony – funkcja, której dziedziną są wszystkie liczby naturalne, oznaczamy \((a_1;a_2;…)\) lub \(a_n\). Przykład: ciąg naprzemienny składający się znaków \(+\) oraz \(-\) :

\(a_1=+\)

\(a_2=-\)

\(a_3=+\)

\(a_4=-\)

\(a_5=+\)

\(\vdots\)
 
Ciąg skończony – funkcja, której dziedziną jest pewna skończona ilość kolejnych liczb naturalnych zaczynając od 1 , oznaczamy \((a_1;a_2;a_3;…;a_n)\) . Przykład: ciąg składający się wszystkich liter alfabetu angielskiego:

\(a_1=a\)

\(a_2=b\)

\(a_3=c\)

\(a_4=d\)

\(a_5=e\)

\(a_6=f\)

\(\vdots\)

\(a_{24}=x\)

\(a_{25}=y\)

\(a_{26}=z\)
 
Ciąg liczbowy – funkcja, której zbiór wartości składa się z liczb rzeczywistych (może być on skończony lub nieskończony)

Bardzo popularnym przypadkiem ciągu jest ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny.

Aby zdefiniować ciąg najczęściej wystarczy wskazać czy jest on skończony czy nie oraz wypisać kilka kolejnych wyrazów ciągu, np.:

\(2; 4; 6; 8; 10;...\)  - łatwo zauważyć że jest to ciąg liczb parzystych

\(3; -6; 9; -12; 15; -18;...\) - tutaj co drugi wyraz jest dodatni i co drugi jest ujemny poza tym zwiększają się o 3 

częściej jednak wskazuje się wzór ciągu analogicznie jak wzór funkcji (ciąg jest funkcją), np.:

\(a_n=2n+6 \)

\(a_n=(-2)^n\)

Można również zapisywać ciągi w sposób rekurencyjny, czyli za pomocą wyrazów poprzednich, np.:

dla \(a_1=0, a_2=1\)

\(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\)

jest to jeden z bardziej znanych ciągów zależny od dwóch poprzednich wyrazów, rozchodzi się o ciąg Fibonacciego.