Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Dziedzina funkcji


Definicja

Niech dany będzie zbiór \(X\), na którym określona jest funkcja. Element \(x\) zbioru \(X\) nazywamy argumentem funkcji.
Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów funkcji.

Najprawdopodobniej nasuwa się teraz pytanie, o co tu chodzi, a odpowiedź jest bardzo prosta:
 dziedzina to po prostu liczby, które wolno nam wstawić za iks ( \(x\) ) aby można było obliczyć wartość funkcji np. gdy mamy \(f(x)= \dfrac{1}{x}\) to za \(x\) nie wolno nam wstawić zero bo nie wolno dzielić przez zero, więc dziedzina to wszystkie liczby na świecie poza zerem i możemy to zapisać  \(D_f=R \setminus \left \{ 0 \right \}\)

najczęściej dziedzinę funkcji zapisuje się w postaci:

\(D_f = \:\: R \setminus \left \{ 1 \right \}\)

\(x\:\:\epsilon \:\:R^+\)

\(D= \:<-3;1)\cup (1;+\infty)\)

\(x\:\:\epsilon\: R\: \setminus <-1;3>\)

\(D_f=R\: \setminus \: \left \{ x: \:\:\: x= \dfrac{\Pi }{4} +2\cdot k \cdot \Pi \: ;\: k \epsilon Z \right \} \) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych



Aby obliczyć dziedzinę musicie pamiętać o czterech prostych krokach (chyba że jesteście na studiach matematycznych):

 1) czy w naszej funkcji jest jakaś kreska ułamkowa (jakieś dzielenie)
 2) czy w naszej funkcji jest jakiś pierwiastek
 3) czy w naszej funkcji jest jakiś logarytm
 4) czy w naszej funkcji jest tangens lub cotangens 
 5) czy w naszej funkcji jest jakiś arc (studenci będą wiedzieć, że arc to przedrostek funkcji cyklometrycznej arkus np. arcsin - arkus sinus)

jeśli w naszej funkcji nie ma nic z punktów od 1 do 4 to dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

\(D=R\)

 1) jeśli mamy jakąś kreskę ułamkową np. \(f(x) = \dfrac{2x}{3x-6}\) to musimy pamiętać, że to co jest w mianowniku nie może być zerem więc:

\(3x-6 \neq 0 \:\:\: / :3\)

\(x-2 \neq 0 \:\:\: / +2\)

\(x \neq 2\)

więc \(x\) nie może być dwójką, czyli nasza dziedzina funkcji w tym przypadku wynosi \(D_f=R \setminus \left \{ 2 \right \} \)

2) jeśli mamy jakiś pierwiastek np. \(f(x)= \sqrt{2x-1}\) to pamiętaj, że to co jest pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero, chyba że mielibyśmy pierwiastek stopnia nieparzystego jak \(f(x)=\sqrt[3]{2x-1}\) w tym przypadku pod pierwiastkiem może być dowolna liczba, więc:

- dla funkcji

\(f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}3}]{2x-1} ;\:\:\:\:f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}5}]{3x-12};\:\:\:\:f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}7}]{12x+12}; \cdots\)

dziedziną funkcji jest \(D_f=R\) zbiór liczb rzeczywistych,

- dla funkcji \(f(x)= \sqrt{2x-1}\) to co pod pierwiastkiem nie może być mniejsze od zera:

\(2x-1 \geqslant 0 \:\:\:\:\:/ +1\)

\(2x \geqslant 1 \:\:\:\:/ :2\)

\(x \geqslant 0,5\)

czyli za \(x\) w naszej funkcji wolno nam podstawić liczby większe lub równe \(0,5\), możemy zapisać to w postaci \(D_f=<0,5;+\infty)\)

3) jeśli mamy jakiś logarytm w naszej funkcji np. \(f(x)= log_2 (5x-10)\) to musimy pamiętać, że to co jest w logarytmie musi być większe od zera (zerem też nie może być), więc:
 jeśli mamy funkcję \(f(x)=log_2(5x-10);\:\:\:\:f(x)=log(5x-10);\:\:\:\:f(x)=ln(5x-10);\)

\(\:\:\:\:f(x)=log_{371}(5x-10)\) to dziedzinę będziemy obliczali tak:

\(5x-10 > 0 \:\:\:\:/ :5\)

\(x-2>0\:\:\:\:/+2\)

\(x>2\)

czyli za \(x\) wolno nam podstawić liczby większe od 2, zapisać to możemy w postaci \(D_f= (2;+\infty)\)

jeśli natomiast \(x\) będziemy mieli w podstawie logarytmy to musimy pamiętać że musi to być większe od zera i musi być różne od liczby jeden, np. \(f(x)= log_{x-3}2\), w takim przypadku dziedzinę będziemy obliczali tak:

\(x-3>0\)  oraz  \(x-3 \neq 1\) 

\(x>3\)  oraz  \(x\neq4\)

tak więc za \(x\) wolno nam podstawiać liczby większe od trzech z pominięciem czwórki, zapisać naszą dziedzinę funkcji możemy \(D_f=(3;+\infty) \setminus \left \{4 \right \} \)


4) jeśli mamy w naszej funkcji funkcje trygonometryczne np. \(f(x)= 1\cdot x+tg(x)\) to w tangensie wyrażenie musi być różne od  \(\dfrac{\Pi }{2} +k\Pi\) gdzie \(k\) to dowolna liczba całkowita, w naszym przypadku mamy:

\(x \neq \dfrac{\Pi }{2} +k\Pi\)

i możemy to zapisać w postaci \(D_f=R\: \setminus \: \left \{ x: \:\:\: x= \dfrac{\Pi }{2} +k\Pi \: ;\: k \epsilon Z \right \} \) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych

podobnie ma się sprawa z funkcją cotangens, np. \(f(x) = 2x^5+3x^1 -ctg(2x+\Pi)\), w cotangensie wyrażenie musi być różne od \(k\Pi\) gdzie \(k\) to dowolna liczba całkowita, w naszym przypadku mamy:

\(2\cdot x +\Pi \neq k\Pi \:\:\:\:/\:-\Pi\)

\(2\cdot x \neq k\Pi-\Pi\)

\(2\cdot x \neq \Pi(k-1)\) jeśli \(k\) jest liczbą całkowitą to \(k-1\) też jest liczbą całkowitą, możemy zapisać więc:

\(2\cdot x \neq p\Pi\) gdzie \(p\) jest dowolną liczbą całkowitą, nastepnie podzielimy obie strony nierówności przez dwa

\(x \neq p\cdot \dfrac{\Pi}{2}\)

naszą dziedzinę funkcji możemy zapisać w następujący sposób \(D_f= R \setminus \{x: \:\:\:x=p\cdot \dfrac{\Pi}{2} \: ; \: k \epsilon Z\}\) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych

5) jeśli mamy w naszej funkcji jakiś \(arcsin()\) lub \(arccos()\) to musimy pamiętać, że to co w arkusiesinusie lub arkusiecosinusie musi być mniejsze lub równe 1 i jednocześnie większe lub równe -1, np. mając \(f(x)= 2x^{5x}+3x^2 +arcsin(4x-7)\) dziedzinę będziemy obliczali:

dziedzina funkcji arcsin (naszej funkcji):

\(4x-7\geqslant -1 \:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\: 4x-7\leqslant 1\) dodając do obu stron nierówności 7 otrzymamy

\( 4x \geqslant 6\:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\: 4x \leqslant 8 \) następnie podzielimy obie strony nierówności przez cztery

\( x \geqslant 1\dfrac{1}{2}\:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\:x \leqslant 2 \)

tak więc \(x\) musi być większy od \(1\dfrac{1}{2}\) i jednocześnie mniejszy od \(2\), naszą dziedzinę funkcji możemy zapisać:

\(D_f= <1\dfrac{1}{2};2>\)

Przykład:

Niech dana będzie funkcja \(f(x)\), oblicz dziedzinę funkcji:

\(f(x)= \dfrac{\sqrt{x+8}}{x+3}+2x^3\)

tak więc w naszej funkcji mamy ułamek oraz pierwiastek, nie mamy logarytmów ani tangensów czy arkusów, więc zajmiemy się najpierw ułamkiem a następnie pierwiastkiem.

ułamek - to co pod kreską ułamkową ma być różne od zera:

\(x+3 \neq 0 \:\:\:\:/ -3\)

\(x \neq -3\)

czyli za \(x\) nie możemy wstawić \(-3\), teraz pierwiastek.

pierwiastek - to co pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero

\(x+8 \geqslant 0 \:\:\:\:/\:-8\)

\(x \geqslant -8\)

czyli nasz \(x\) musi być większy od \(-8\). Podsumowując \(x\) musi być większy od \(-8\) oraz musi być różny od \(-3\), naszą dziedzinę możemy zapisać:

\(D_f=<-8;+\infty> \setminus\:\{-3\}\)