Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Ekstremum funkcji (minimum, maksimum)



Ekstremum 

Na wykresie wskazano miejsca, w których znajduje się ekstremum funkcji. Najczęściej z ogólnym zrozumieniem pojęcia nie ma problemu, jest to punkt najdalej wysunięty - górka lub dołek na wykresie.  Do wyznaczania ekstremum nie będziemy używać skomplikowanych twierdzeń na obliczanie ekstremum lokalnego z definicji, twierdzenia Fermata, twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, warunków koniecznych i wystarczających, a często będą one w taki sposób przedstawiane. Należy pamiętać, że ekstremum funkcji i największa i najmniejsza wartość funkcji to różne pojęcia, gdy mamy funkcje ciągłą w danym przedziale to zawsze istnieje największa i najmniejsza wartość jednak może wtedy nie istnieć ekstremum.

Aby obliczyć ekstremum należy wyliczyć \(f’(x) =0\), czyli jeśli mamy podany wzór funkcji, najpierw obliczamy z niego pochodną a następnie przyrównujemy ją do zera i rozwiązujemy równanie, następnie badamy znak funkcji i to koniec. 

Uwaga: Postępujemy tak w przypadku funkcji ciągłych, jeśli funkcja dla x spełniającego równanie \(f’(x)=0\) nie jest w tym punkcie ciągła, to funkcja w tym punkcie nie ma ekstremum.


Przykład


Oblicz ekstrema funkcji \(f(x)=x^3+6x^2-7\):

najpierw dziedzina funkcji w tym przypadku \(D_f=R\) następnie obliczamy pochodną funkcji:

\(f'(x)=(x^3+6x^2-7)'=3x^2+12x\)

następnie wyliczoną pochodną przyrównujemy do zera i rozwiązujemy:

\(f'(x)=0\)

\(3x^2+12x=0\)

\(3(x^2+4x)=0\)

\(3x(x+4)=0\)

\(x=0\:\: \vee \:\:x+4=0\)

\(x=0 \:\: \vee \:\: x=-4\)

mamy dwa punkty w których mogą się znajdować ekstrema. Te dwa punkty wyznaczają nam trzy przedziały:

1) \((-\infty;-4)\)

2) \((-4;0)\)

3) \((0;+\infty)\)

w tych przedziałach musimy znać znak funkcji co można łatwo wyznaczyć wstawiając jakąkolwiek liczbę z danego przedziału do pochodnej, więc:

1) z pierwszego przedziału \((-\infty;-4)\) wybierzemy liczbę \(-10\) i podstawimy do wzoru pochodnej

\(f'(-10)=3(-10)^2+12\cdot (-10)=300-120=180\)

wartość nie jest ważna, tylko jej znak, wyszła liczba na plusie bo 180 jest liczbą na plusie, więc znak pochodnej w przedziale \((-\infty;-4)\) to plus \(+\). Oznacza to też, że w tym przedziale funkcja podstawowa jest rosnąca.

2) z drugiego przedziału \((-4;0)\) wybierzemy liczbę \(-2\) i podstawimy do wzoru pochodnej

\(f'(-2)=3(-2)^2+12\cdot (-2)=12-24=-12\)

tak więc znak pochodnej w przedziale \((-4;0)\) to minus \(-\), oznacza to, że funkcja podstawowa w tym przedziale jest malejąca

3) z trzeciego przedziału \((0;+\infty)\) wybieramy liczbę \(1\)

\(f'(1)=3\cdot 1^2+12\cdot 1=15\)

znak pochodnej w przedziale \((0;+\infty)\) to plus \(+\), co oznacza, że funkcja podstawowa jest rosnąca w tym przedziale.

Podsumowując 

W okolicy \(-4\) funkcja najpierw rośnie następnie maleje, co oznacza, że w \(-4\) mamy ekstremum a dokładniej maksimum.
W okolicy \(0\) funkcja najpierw maleje potem rośnie, co oznacza, że w \(0\) mamy ekstremum a dokładniej minimum.

ekstremum przykład