Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Funkcja liniowa

Funkcję liniową określamy wzorem:
\(f(x)=ax+b\)

lub
\(y=ax+b\)

Pierwszy zapis jest poprawnym zapisem funkcji. Drugi zapis, do poziomu matury, jest traktowany na równi z pierwszym, jednak trzeba pamiętać, że nie wszystkie równania z \(x\)-sem oraz \(y\)-kiem są funkcjami. Dlatego tylko jeśli mamy zapisane \(f(x)\), możemy być pewni, że mamy do czynienia z funkcją. Regułą jednak stało się zapisywanie w postaci \(y=ax+b\) i tak będziemy w dalszej części opisywali funkcję.

Funkcja liniowa posiada dwie główne postaci:
Równanie ogólne prostej:
\(Ax+By+C=0\)

Równanie kierunkowe funkcji liniowej:
\(y=ax+b\)

\(a\) - współczynnik kierunkowy  \(a=tg \alpha \)  gdzie \(\alpha\)  to kąt pomiędzy wykresem funkcji, a osią OX.

\(b\) - wyraz wolny.

Monotoniczność dla: \(a>0\) – rosnąca ; \(a<0\) – malejąca ; \(a=0\) - stała

Współczynnik \(b\) wyznacza punkt przecięcia z osią OY\((0;b)\)

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą
Przykład 1
Funkcja liniowa
Współczynnik kierunkowy wynosi \(3\), więc jest to funkcja rosnąca, a kąt między osią OX, a wykresem wynosi \(3=tg \alpha \Rightarrow \alpha\approx72^{\circ}\). Współczynnik \(b\) wynosi 2, więc wykres przecina się z osią OY w punkcie \((0;2)\).

Przykład 2
Funkcja liniowa przykład


Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{1}{3}\), więc jest to funkcja rosnąca, a kąt między osią OX, a wykresem wynosi \(\frac{1}{3}=tg \alpha \Rightarrow \alpha\approx17^{\circ}\). Współczynnik \(b\) wynosi 1, więc wykres przecina się z osią OY w punkcie \((0;1)\).


Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym \(a\), która przechodzi przez punkt \(P=(x_0,y_0)\), wyznacza się z następującego wzoru:

\(y=a(x-x_0)+y_0\)

Przykład
Wyznacz równanie prostej o współczynniku \(a=2\) i przechodzącej przez punkt \(A=(3,5;7)\):

Wstawiamy do wzoru w miejsce \(a\) liczbę 2, natomiast za \(x_0\) podstawiamy 3,5, za \(y_0\) podstawiamy 7. Do wyliczenia pozostaje współczynnik \(b\), więc:

\(y=a(x-x_0)+y_0\)

\(y=2\cdot(x-3,5)+7\)

\(y=2x-7+7\)

\(y=2x\)

Odpowiedź: Szukany wzór funkcji to \(y=2x\).

Przykładowe zadanie
Zad. 1) Dla podanych funkcji podaj współczynnik kierunkowy, miejsce przecięcia z osią OY, monotoniczność:
a) \(y=2x+7\)

b) \(y=\frac{2}{5}x+4\)

c) \(y=-x-7\)

d) \(y=-\frac{1}{2}x+5\) Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Narysuj wykres funkcji liniowej, podaj punkt przecięcia się wykresu z osią OY oraz monotoniczność:
a) \(y=x+1\)

b) \(y=\frac{1}{3}x-1\)

c) \(y=-2x+3\)

d) \(y=-\frac{1}{2}x-2\) Zobacz rozwiązanie