Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Funkcja odwrotna


Mając daną funkcje różnowartościową \(f\) odwzorowującą zbiór \(X\) na zbiór \(Y\), funkcję odwrotną wyznaczymy przez przyporządkowanie każdemu elementowi \(y\:\epsilon Y\) jeden \(x\:\epsilon \:X\)  spełniający równość \(y=f(x)\). Funkcję odwrotną do funkcji \(f\) oznaczamy symbolem \(f^{-1}\) a dokładniej:

\(f^{-1}:Y \mapsto X\) 

gdzie dla każdego \(x\:\epsilon X\), \(y\:\epsilon Y\) i \(y=f(x)\) wtedy i tylko wtedy gdy \(x=f^{-1}(y)\), w prosty sposób wynika z tego, że:

\(f^{-1}(f(x))=x\)   i   \(f(f^{-1}(y))=y\)

Aby wyznaczyć funkcję odwrotną, z funkcji różnowartościowej określonej w przedziale \((x_1;x_2)\), w sposób \(y=f(x)\), należy rozwiązać równanie \(y=f(x)\) względem \(x\), czyli zapisać w sposób \(x=f^{-1}(y)\). Wykres funkcji podstawowej i funkcji do niej odwrotnej są do siebie symetryczne względem prostej o równaniu \(y=x\)

Należy pamiętać, że \(f{-1}(x)\) to zupełnie coś innego niż \((f(x))^{-1}\), pierwsze to oznaczenie funkcji odwrotnej, drugie natomiast wynosi \(\dfrac{1}{f(x)}\) i nie ma nic wspólnego z funkcją odwrotną.

Przykład 1

Wyznacz funkcję odwrotna do funkcji \(f(x)= 2x-8\)

Dana jest więc funkcja \(y=2x-8\) dla \(x\: \epsilon R\), wzór funkcji odwrotnej uzyskujemy przez zamianę \(x\) z \(y\)-kiem:

\(x=2y-8\)

pozostaje tylko wyznaczyć \(y\):

\(x+8=2y\:/\:\: :2\)

\(\dfrac{1}{2}x+4=y\)

Odpowiedź: Funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=2x-8\) jest funkcja \(f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}x+4\)


Przykład 2

Wyznacz funkcje odwrotną do funkcji \(f(x)=x^3\) dla \(x\:\epsilon \: R\)

Należy zacząć od zamiany miejsc zmiennych \(x\) oraz \(y\), dana jest funkcja \(y=x^3\)

funkcja odwrotna będzie miała wzór: \(x=y^3\), pozostaje jeszcze wyznaczenie \(y=\sqrt{x}\)