Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

"Im wrażliwszy się stajesz, tym bardziej poszerza się twoje życie" OSHO

Funkcja odwrotna


Mając daną funkcje różnowartościową \(f\) odwzorowującą zbiór \(X\) na zbiór \(Y\), funkcję odwrotną wyznaczymy przez przyporządkowanie każdemu elementowi \(y\:\epsilon Y\) jeden \(x\:\epsilon \:X\)  spełniający równość \(y=f(x)\). Funkcję odwrotną do funkcji \(f\) oznaczamy symbolem \(f^{-1}\) a dokładniej:

\(f^{-1}:Y \mapsto X\) 

gdzie dla każdego \(x\:\epsilon X\), \(y\:\epsilon Y\) i \(y=f(x)\) wtedy i tylko wtedy gdy \(x=f^{-1}(y)\), w prosty sposób wynika z tego, że:

\(f^{-1}(f(x))=x\)   i   \(f(f^{-1}(y))=y\)

Aby wyznaczyć funkcję odwrotną, z funkcji różnowartościowej określonej w przedziale \((x_1;x_2)\), w sposób \(y=f(x)\), należy rozwiązać równanie \(y=f(x)\) względem \(x\), czyli zapisać w sposób \(x=f^{-1}(y)\). Wykres funkcji podstawowej i funkcji do niej odwrotnej są do siebie symetryczne względem prostej o równaniu \(y=x\)

Należy pamiętać, że \(f{-1}(x)\) to zupełnie coś innego niż \((f(x))^{-1}\), pierwsze to oznaczenie funkcji odwrotnej, drugie natomiast wynosi \(\dfrac{1}{f(x)}\) i nie ma nic wspólnego z funkcją odwrotną.

Przykład 1

Wyznacz funkcję odwrotna do funkcji \(f(x)= 2x-8\)

Dana jest więc funkcja \(y=2x-8\) dla \(x\: \epsilon R\), wzór funkcji odwrotnej uzyskujemy przez zamianę \(x\) z \(y\)-kiem:

\(x=2y-8\)

pozostaje tylko wyznaczyć \(y\):

\(x+8=2y\:/\:\: :2\)

\(\dfrac{1}{2}x+4=y\)

Odpowiedź: Funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=2x-8\) jest funkcja \(f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}x+4\)


Przykład 2

Wyznacz funkcje odwrotną do funkcji \(f(x)=x^3\) dla \(x\:\epsilon \: R\)

Należy zacząć od zamiany miejsc zmiennych \(x\) oraz \(y\), dana jest funkcja \(y=x^3\)

funkcja odwrotna będzie miała wzór: \(x=y^3\), pozostaje jeszcze wyznaczenie \(y=\sqrt{x}\)