Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna – jest własnością liczb naturalnych, służące do dowodzenia twierdzeń matematycznych. Jest to schemat, który można łatwo zrozumieć i zastosować, wykorzystując elementarną wiedzę z matematyki.
Dowód twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej przeprowadza się w trzech krokach.
Schemat indukcji matematycznej:
1) udowodnienie prawdziwości twierdzenia dla pewnej liczby naturalnej \(n\),
2) założenie, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby naturalnej \(k\), takiej że \(k\geqslant n\),
3) udowodnienie prawdziwości twierdzenia dla \(k+1\).

Na czym polega indukcja matematyczna?
Chcąc udowodnić wzór, w którym zmienna jest liczbą naturalna, najpierw musimy sprawdzić czy jest on prawdziwy, dla chociaż jednego przypadku (początkowego), czyli dla liczby \(n\). Jeśli jest to prawdą, to można założyć, że jest to prawdą dla liczby naturalnej \(k\), która jest równa lub większa od \(n\). Wykorzystując warunek, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej \(k\), udowadnia się, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej \(k+1\) (czyli o jeden większej).
Jest to o tyle genialna metoda, że udowadnia w trzech korkach i sprawdza wszystkie liczby naturalne. Dla przykładu jeśli \(k\) byłoby trójką to \(k+1\) byłoby czwórką, wtedy \(k\) byłoby również czwórką a \(k+1\) byłoby piątką, następnie szóstką, siódemką i ósemką, aż w końcu każdą następną liczbą naturalną aż do nieskończoności. Tak więc liczba \(k\) jest każdą liczbą naturalną większą bądź równą \(n\) i właśnie dla takich liczb udowadnia się rozpatrywany wzór.

Sumy wyrażeń, które można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej:

\(\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\)

\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

\(\sum_{k=1}^{n}k^3=\begin{bmatrix}
\dfrac{n(n+1))}{2}
\end{bmatrix}^2\)

\(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\) - suma liczb nieparzystych


Przykładowe zadania

Zad. 1) Za pomocą indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnego \(n\epsilon N\) prawdziwe jest wyrażenie:
\(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\) prawdziwy jest wzór:
\(\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\)       Zobacz rozwiązanie


Zad. 3) Za pomocą indukcji matematycznej wykaż, że wyrażenie \(n(n+1)(2n+1)\) jest podzielne przez \(6\) dla liczby naturalnej \(n\geqslant 1\).    Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Udowodnij, że \(10^n+4^n-2\) jest podzielne przez 3 dla liczby naturalnej \(n\geqslant 1\).   Zobacz rozwiązanie