Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Kres górny i dolny


Kres górny i dolny należy rozpatrywać razem z pojęciami ograniczenie z dołu i z góry oraz z pojęciem najmniejsza i największa wartość.

Najpierw wyjaśnijmy, co to jest ograniczenie zbioru.

Niech będzie określony zbiór. Mówimy, że jest on:

ograniczony z dołu - jeżeli istnieje liczba, która jest mniejsza lub równa od każdej liczby z tego zbioru

ograniczony z góry - jeżeli istnieje liczba, która jest większa lub równa od wszystkich liczb z tego zbioru

Oznacza to, że jeśli mamy zbiór \( \{1;2;3;4;5\}\) to ograniczenie z dołu może wynosić \(1\) ale równie dobrze może wynosić \(-10000\) lub \(-10\) lub \(0\), ponieważ ograniczenie dolne to dowolna liczba mniejsza lub równa od każdej liczby ze zbioru. Analogicznie sprawa wygląda z ograniczeniem z góry, w tym przykładzie może ono wynosić \(12\) lub \(13\) lub \(100000000\) ograniczeniem z góry jest również liczba \(5\).

Następnie wyjaśnimy, co to jest najmniejsza i największa wartość.

Niech będzie określony zbiór. Mówimy, że ma on wartość:
- najmniejszą, jeżeli istnieje liczba należąca do zbioru, która jest mniejsza lub równa od każdej liczby w zbiorze;
- największą, jeżeli istnieje liczba należąca do zbioru, która jest większa lub równa od każdej liczby w zbiorze.

Dla przykładu i wyjaśnienia, niech dany będzie zbiór \((2;8>\) , przy określaniu wartości największej i najmniejszej trzeba się kierować zasadą, że szukamy liczby należącej do zbioru, czyli w naszym zbiorze nawias przy liczbie 8 jest ">" domknięty co oznacza, że ta liczba należy do zbioru, wiec łatwo ustalić, że liczba osiem jest największą wartością zbioru, natomiast obok liczby 2 mamy nawias "(" otwarty czyli liczba 2 nie należy do zbioru, można by mówić, że najmniejszą liczba jest 2,00000001 jednak jakąkolwiek liczbę byśmy napisali zawsze można do niej znaleźć liczbę mniejszą jak np. 2,00000000000000001 i tak dalej i tak dalej, czyli nie jesteśmy w stanie podać najmniejszej liczby należącej do zbioru, oznacza to, że zbiór nie posiada wartości najmniejszej.

Co to jest kres górny i dolny?

Kres dolny - jest to największa liczba będąca ograniczeniem z dołu;
Krez górny - jest to najmniejsza liczba będąca ograniczeniem z góry.

Oznacza to, że w odróżnieniu od wartości najmniejszej i największej, kres nie musi należeć do danego zbioru, oraz inaczej niż w ograniczeniu zbioru nie jest dowolną liczbą. Dla przykładu jeżeli mamy zbiór \((4;7)\) to juz wiemy, że nie posiada on wartości najmniejszej ani największej, ograniczony z dołu jest przez np.: \(-1000;\: -192; \: -12;\: -2;\:0;\:1;\:2;\:3;\:4\) mimo że \(4\) nie należy do zbioru, kresem dolnym jest tylko jedna liczba i jest ona największa liczbą z wszystkich liczb będących ograniczeniem dolnym, czyli kresem dolnym zbioru \((4;7)\) jest liczba 4. Analogicznie kresem górnym jest liczba 7.

Pojęcie kresu górnego nazywamy supremum i dolnego infimum i oznaczamy:

kres dolny - infimum - oznaczenie \(\inf f\) - czytamy kres dolny funkcji f

kres górny - supremum - oznaczenie \(\sup f\) - czytamy kres górny funkcji f