Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Liczby zespolone

Liczby zespolone są to pary uporządkowanych liczb rzeczywistych \(a \: i \: b\). Parę taką można zapisać w postaci sumy \(z = a + bi\), gdzie \(a, \: b\) są liczbami rzeczywistymi (nazywanymi \(a\) częścią rzeczywistą oraz \(b\) częścią urojoną liczby \(z\)), \(i\) to jednostka urojona, spełniającaa równanie \(i^2 = -1\). Powyższą postać liczby zespolonej \(z\) nazywa się postacią algebraiczną (kanoniczną).

Dla liczby \(z = a + bi\) można zdefiniować jej:
  • część rzeczywistą oznaczaną jako \(re\) \( z = a\), inne oznaczenie to \(Re z\),
  • część urojoną oznaczaną jako \(im\) \(z = b\), inne oznaczenie to \(Im z\).
Postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z = a + bi\) ma postać:

\(z = \left | z \right | (cos \varphi  + i sin \varphi)\), gdzie

\(\left | z \right | = r = \sqrt{a^2 + b^2}\)

\(cos \varphi = \dfrac{a}{\left | z \right |} = \dfrac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2}}\)

\(sin \varphi = \dfrac{b}{\left | z \right |} = \dfrac{b}{ \sqrt{a^2 + b^2}}\)

Liczbę \(\left | z \right |\) nazywa się modułem \(z\), natomiast kąt skierowany \(\varphi\) argumentem liczby zespolonej i oznacza się go jako \(\varphi = \text{arg} \: z\).

Na liczbach zespolonych wykonuje się następujące działania: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.