Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Macierz diagonalna

Macierz kwadratowa, w której poza główną przekątną zawierającą elementy \(a_{11}, a_{22}, \: ... , \: a_{nn}\) są same zera nazywa się macierzą diagonalną (przekątniową).

\(

\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & & \cdots & 0\\
0 & a_{22} & 0 & & \vdots\\
& 0 & a_{33}& 0 & \\
\vdots & & 0 & \ddots & 0\\
0 & \cdots & & 0 & a_{nn}
\end{bmatrix}

\)

Przykład


\(D = \begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 10 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 15 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 25
\end{bmatrix}\)


Macierz diagonalną oznaczamy symbolem \(diag()\) i możemy przedstawić w sposób: \(\text{diag} (a_{11}, a_{22}, ...,)\), gdzie \(a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn}\) są kolejnymi współczynnikiami leżącymi na głównej przekątnej. Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz jednostkowa. Wartość wyznacznika macierzy diagonalnej jest równa iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy diagonalnej jest bardzo łatwe. Mając macierze \(A\) i\( B\) takie że:

\(A = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 &0 \\
0 & 3 & 0& 0\\
0 & 0 & -1 &0 \\
0 & 0 & 0 & 5
\end{bmatrix}

;

B =

\begin{bmatrix}
-5 & 0 & 0 &0 \\
0 & 1 & 0& 0\\
0& 0& 7 & 0\\
0& 0 & 0 & -4
\end{bmatrix}

\)

czyli:

\(A = diag(2;3;01;5) ; B=diag(-5;1;7;-4)\)



Dodawanie macierzy \(A\) i \(B\)


\(A+B = \begin{bmatrix}
2+(-5) &0 & 0 & 0\\
0 & 3+1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1+7 & \\
0&0 & 0 & 5+(-4)
\end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}
-3 &0 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0 & 0\\
0 & 0 & 6 & \\
0&0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\)

inaczej:

\(A+B= diag(2+(-5);3+1;-1+7;5+(-4))=diag(-3;4;6;1) \)



Analogicznie jest z odejmowaniem:


\(A-B = \begin{bmatrix}
2-(-5) &0 & 0 & 0\\
0 & 3-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1-7 & \\
0&0 & 0 & 5-(-4)
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
7 &0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & -8 & 0\\
0&0 & 0 & 9
\end{bmatrix}\)

czyli:

\(A+B= diag(2-(-5);3-1;-1-7;5-(-4))=diag(7;2;-8;9)\)




Mnożenie macierzy diagonalnych:


\(A \cdot B = \begin{bmatrix}
2 \cdot (-5) &0 & 0 & 0\\
0 & 3 \cdot 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 \cdot 7 & \\
0&0 & 0 & 5 \cdot (-4)
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-10 &0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & -7 & 0\\
0&0 & 0 & -20
\end{bmatrix}\)


czyli:

\(A+B= diag(2 \cdot(-5);3\cdot 1;-1\cdot 7;5\cdot (-4))=diag(-10;3;-7;-20) \)