Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Macierze

Macierz jest to w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci tablicy. Pojęcie to wprowadzono w celu uproszczenia rozwiązywania układów równań liniowych, które wiązało się z wykonywaniem wielu żmudnych działań. Macierze w zakresie szkoły najczęściej stosuje się do rozwiązywania układow równań, w tym celu zresztą je stworzono, aby rozwiązywać w szybszy sposób np. dziewięć równań z ośmioma niewiadomymi.

W każdej macierzy można wyróżnić: wiersze (poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii) i kolumny (pionowy układ elementów znajdujących się w jednej linii). Dane w macierzy nazywają się elementami, współczynnikami lub wyrazami, a każdy element można jednoznacznie zdefiniować przez podanie jego wskaźnika lub indeksu (zwykle w tej kolejności: numer wiersza i kolumny macierzy, w której stoi). Na macierzach można wykonywać podstawie działania jak: dodawanie i odejmowanie macierzy, mnożenie macierzy przez liczbę. Macierz z regóły oznaczamy wielkimi literami alfabetu np. \(A\), a oznaczenia poszczególnych wyrazów macierzy zapisujemy małymi literami z indeksem dolnym numeru wiersza i kolumny np. \(a_{21}\).

Definicja i podstawowe wiadomości o macierzach

Macierzą o wymiarze \(m \times n\) nazywamy funkcje określoną na uporządkowanych parach \((i, j)\), gdzie \(i=1,2, \: ... , \: m\);  \(j=1,2, \: ... , \: n\). Wartość tej funkcji dla danych \(i, j\) oznaczamy przez \(a_{ij}\), czyli \(f(i,j) = a_{ij}\). Przy ustalonych \(i,j\) mamy tzw. element \(a_{ij}\) danej macierzy znajdujący cię w \(i\)-tym wierszu i \(j\)-tej kolumnie. Taką macierz \(A\) zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy mającej \(m\) wierszy i \(n\) kolumn.


\(A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} &  ... & a_{1n} \\
 a_{21}& a_{22}  & ... & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots  & \: \ddots  & \vdots \\
 a_{m1 }& a_{m2}  & ... & a_{mn}
\end{bmatrix}\) lub krótko \(A = [a_{ij}]_{m \times n}\), gdzie

\(i=1,2, \:... \: m\) - numer wiersza

\(j=1,2, \: ... \: n\) - numer kolumny

Jeżeli macierz ma tyle samo wierszy co kolumn czyli \(m = n\) to nazywa się ją macierzą kwadratową. Na takim typie macierzy wykonywane jest najwięcej działań, jak obliczanie wyznacznika macierzy czy macierzy odwrotnej.

\(\begin{bmatrix}
1 & 5 & 3 & 3\\
0 & 9 & 4 & 2\\
3 & 1 & 6 & 0\\
7 & 2 & 1 & 8
\end{bmatrix}\)

Jeżeli macierz ma tylko jedną kolumnę to nazywa się ją macierzą kolumnową, np.:

\(A = \begin{bmatrix}
5 \\
15 \\
30 \\
55 \end{bmatrix}\)

Jeżeli macierz posiada tylko jeden wiersz to nazywa się go macierzą wierszową, np.:

\(B = \begin{bmatrix} 1  & 6  & 10 & 13 \end{bmatrix}\)

Macierz, w której wszystkie elementy są zerami jest macierzą zerową:

\(C = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)


Pozostałe typy macierzy zostaną omówione w oddzielnych artykułach.