Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Układ równań - Metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyliczeniu jednej zmiennej z dowolnego równania i wstawieniu do kolejnego równania.

Przykład

\(\left\{\begin{matrix} 3x-y=1 \\
x+2y=5 \end{matrix}\right.\)

Rozwiązanie układu równań:

Z drugiego równania wyliczamy zmienną \(x\), resztę przepisujemy bez zmian:

\(\left\{\begin{matrix} 3x-y=1\\ x=5-2y \end{matrix}\right.\)

 

Do pierwszego równania podstawiamy zamiast \(x\) wyrażenie \(5-2y\).

\(\left\{\begin{matrix} 3(5-2y)-y=1\\ x=5-2y \end{matrix}\right.\)

 

Pierwsze równanie posiada jedną niewiadoma (po podstawieniu). Przystępujemy do rozwiązania a drugie równanie przepisujemy bez zmian.

\(\left\{\begin{matrix} 15-6y-y=1\\ x=5-2y \end{matrix}\right.\)

 

\(\left\{\begin{matrix} -7y=1-15\\ x=5-2y \end{matrix}\right.\)

 

\(\left\{\begin{matrix} -7y=-14\\ x=5-2y \end{matrix}\right.\)

 

\(\left\{\begin{matrix} y=2\\ x=5-2y \end{matrix}\right.\)

 

Po rozwiązaniu równania wstawiamy obliczoną wartość \(y\) do drugiego równania:

\(\left\{\begin{matrix} y=2\\ x=5-2\cdot 2 \end{matrix}\right.\)

 

\(\left\{\begin{matrix} y=2\\ x=5-4 \end{matrix}\right.\)

 

\(\left\{\begin{matrix} y=2\\ x=1 \end{matrix}\right.\)

 

Rozwiązaniem układu równań jest para \(x=1\) i \(y=2\).

Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

\(\left\{\begin{matrix}
x+y=5\\
x-y=1
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

\(\left\{\begin{matrix}
2x-y=3\\
3x+5y=1
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

\(\left\{\begin{matrix}
2y+3x=-7\\
4x-y=-7
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

\( \left\{\begin{matrix}
5x+10y=15\\
3x-9y=-6
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

\( \left\{\begin{matrix}
2(x-6)+3y=1\\
\dfrac{x}{2}+\dfrac{y-3}{3}=1
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie