Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Metoda przeciwnych współczynników

Aby rozwiązać układ równań tą metoda należy doprowadzić równania do postaci, gdy przy jednej zmiennej w równaniach znajdują się przeciwne współczynniki (np. 6x oraz -6x; 5y oraz -5y ; x oraz –x).

Przykład

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5y=17\\
2x-3y=5
\end{matrix}\right.\)

W równaniach przy zmiennej \(x\) mamy współczynniki \(3\) oraz \(2\).Aby z tych liczb uzyskać przeciwne współczynniki trzeba znaleźć jakby wspólny mianownik liczb(3\) i \(2\). Oczywiście tym czynnikiem będzie \(6\). Pierwsze równanie pomnożymy przez \(2\), drugie równanie pomnożymy przez \(-3\). W ten sposób otrzymamy przy zmiennej \(x\) współczynniki \(6\) oraz \(-6\).

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5y=17\:\: / \:\cdot 2\\
2x-3y=5\:\: / \:\cdot (-3)
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
6x+10y=34\\
-6x+9y=-15
\end{matrix}\right.\)

Następnie dodajemy równania stronami w następujący sposób:

\(\underline{\begin{matrix}
\\ + \end{matrix}
\left\{\begin{matrix}
6x+10y=34\\
-6x+9y=-15
\end{matrix}\right.} \)
\(6x-6x+10y+9y=34-15\)

Niewiadome z \(x\)-em redukują się, otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą, a następnie je rozwiązujemy:

\(10y+9y=34-15\)

\(19y=19\)

\(y=1\)

Po obliczeniu pierwszej niewiadomej, wstawiamy jej wartość do dowolnego równania, i obliczamy wartość drugiej niewiadomej:

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5y=17\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5\cdot 1=17\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x+5=17\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x=17-5\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x=12\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
x=4\\
y=1
\end{matrix}\right.\)

Taki zapis jest rozwiązaniem układu równań. Rozwiązanie można również zapisać w postaci \(x=4\) i \(y=1\).
Zarówno metoda podstawiania, jak i metoda przeciwnych współczynników, mają swoje zalety i wady i nie można wskazać lepszej. Układy równań można również rozwiązywać metodą wyznaczników. Uogólnioną metodą rozwiązywania wielu równań z wieloma niewiadomymi jest twierdzenie Cramera. Dwa równania z dwiema niewiadomymi można również rozwiązywać metodą graficzną.

Przykładowe zadania

Zad. 1) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\(\left\{\begin{matrix}
x+2y=8\\
3x-4y=-6
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
3x-2y=-16\\
5x+3y=5
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
5x-y=8\\
3x+2y=-3
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
-x-y=3\\
x+y=-3
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie 

Zad. 5) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

\( \left\{\begin{matrix}
5x+6y=-28\\
7x+8y=-38
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie