Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Metoda wyznaczników

Metoda ta służy do rozwiązywania układów równań – dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Jest to bardzo prosta i schematyczna metoda, często używana w programowaniu. Wymaga jednak pamiętania wzoru, w odróżnieniu od metody podstawiania lub przeciwnych współczynników, gdzie pamiętać trzeba tylko schemat działania a nie wzór.

Rozwinięciem tej metody jest twierdzenie Cramera. Aby rozwiązać układ równań metodą wyznaczników, należy skorzystać z podanego równania:

\(\left\{\begin{matrix}
{\color{DarkRed}{a_1}}x+{\color{DarkGreen}{b_1}}y={\color{DarkBlue}{c_1}}\\
{\color{DarkRed}{a_2}}x+{\color{DarkGreen}{b_2}}y={\color{DarkBlue}{c_2}}
\end{matrix}\right.\)

i obliczyć następujące wyznaczniki:

\(W=\begin{vmatrix}
{\color{DarkRed}{a_1}} & {\color{DarkGreen}{b_1}}\\
{\color{DarkRed}{a_2}} & {\color{DarkGreen}{b_2}}
\end{vmatrix}={\color{DarkRed}{a_1}}\cdot {\color{DarkGreen}{b_2}} - {\color{DarkGreen}{b_1}} \cdot {\color{DarkRed}{a_2}}\)

\(W_x=\begin{vmatrix}
{\color{DarkBlue}{c_1}} & {\color{DarkGreen}{b_1}}\\
{\color{DarkBlue}{c_2}} & {\color{DarkGreen}{b_2}}
\end{vmatrix}={\color{DarkBlue}{c_1}} \cdot {\color{DarkGreen}{b_2}} - {\color{DarkGreen}{b_1}}\cdot {\color{DarkBlue}{c_2}}\)

\(W_y=\begin{vmatrix}
{\color{DarkRed}{a_1}} & {\color{DarkBlue}{c_1}}\\
{\color{DarkRed}{a_2}} & {\color{DarkBlue}{c_2}}
\end{vmatrix}={\color{DarkRed}{a_1}}\cdot {\color{DarkBlue}{c_2}} - {\color{DarkBlue}{c_1}}\cdot {\color{DarkRed}{a_2}}\)

Po obliczeniu wyznaczników, możemy spotkać się z trzema przypadkami, zgodnie z którymi określamy rozwiązanie:

1) dla \(W\neq 0\), układ określa się jako oznaczony, czyli posiada on jedno rozwiązanie:

\(\left\{\begin{matrix}
x=\dfrac{W_x}{W}\\ \\
y=\dfrac{W_y}{W}
\end{matrix}\right.\)

2) dla \(W=0\) i \(W_x=0\) i \(W_y=0\), układ jest nieoznaczony, posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

3) dla \(W=0\) i jeśli choć jedno \(W_x\neq 0\) lub \(W_y \neq 0\) są różne od zera, to układ równań jest sprzeczny, czyli nie posiada rozwiązań.

Przykładowe zadania

Zad. 1) Rozwiąż metodą wyznaczników:

\(\left\{\begin{matrix}
3x-y=1\\
x+2y=5
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie 

Zad. 2) Rozwiąż metodą wyznaczników:

\( \left\{\begin{matrix}
3x+2y=-8\\
4x-y=-7
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie 

Zad. 3) Rozwiąż metodą wyznaczników:

\(\left\{\begin{matrix}
3x-2y=-16\\
5x+3y=5
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie 

Zad. 4) Rozwiąż metodą wyznaczników:

\(\left\{\begin{matrix}
5x-3y=-13\\
20x+7y=-223
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie 

Zad. 5) Rozwiąż metodą wyznaczników:

\(\left\{\begin{matrix}
7x-6y=52\\
13x-3y=121
\end{matrix}\right.\)       Zobacz rozwiązanie