Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Miejsce zerowe funkcji (nie tylko kwadratowej) jest to argument (x), dla którego wartość funkcji wynosi zero. Geometrycznie, jest to punkt przecięcia się funkcji z osią OX.
Ilość miejsc zerowych (zwanych też pierwiastkami równania, lub pierwiastkami funkcji) jest zależna od wyróżnika \(\Delta=b^2-4ac\), trójmianu kwadratowego \(ax^2+bx+c\):

− jeżeli Δ < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych; trójmian kwadratowy
nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań
rzeczywistych (istnieje rozwiązanie w zbiorze liczb urojonych, jednak to najwcześniej na studiach), funkcja nie przecina osi OX,
− jeżeli Δ = 0, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe; (trójmian
kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie
jedno rozwiązanie rzeczywiste), funkcja przecina oś OX w jednym punkcie, wierzchołek paraboli znajduje się na osi OX:
\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)
− jeżeli Δ > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania
rzeczywiste), funkcja przecina oś OX w dwóch punktach:
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)

Przykładowe zadania
Zad. 1) Podaj wartość wyróżnika i miejsca zerowe funkcji:
a) \(f(x)=x^2-8x+12\)

b) \(f(x)=-x^2+5x-4\)

c) \(f(x)=x^2-2x\)

d) \(f(x)=x^2\)

e) \(f(x)=x^2+6x+10\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Oblicz miejsca zerowe podanych funkcji
a) \(f(x)=3x^2+x-2\)

b) \(f(x)=x^2-x-12\)

c) \(f(x)=3x^2-4x-7\)

d) \(f(x)=x^2-2x-3\)      Zobacz rozwiązanie