Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn macierzy \(A\) przez liczbę \(\alpha\)

\(\alpha \: A = [\alpha, a_{ij}]_{m \times n}\),

tzn. wszystkie elementy \(A\) mnożymy przez liczbę \(\alpha\).

Przykład:

Mnożąc  macierz \(A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 3\\
5 & 2 & 4\end{bmatrix} \) przez \(\alpha = 5\) otrzymamy:

\(\alpha \cdot A = 5 \cdot \begin{bmatrix}
 2 & 1 & 3\\
5 & 2 & 4\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 & 1 \cdot 5 & 3 \cdot 5\\ 5 \cdot 5 & 2 \cdot 5 & 4 \cdot 5 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
10 & 5 & 15\\
25 & 10 & 20\end{bmatrix}\)


Mnożenie dwóch macierzy

Mnożenie macierzy \(AB\)jest możliwe jeśli macierz \(A\) ma tyle samo kolumn co macierz \(B\) ma wierszy. Iloczynem macierzy \(A = [a_{ij}]_{n \times p}\) przez macierz \(B = [b_{ij}]_{p \times m}\) nazywamy macierz \(C= [c_{ij}]_{n \times m}\) taką, że:

\(c_{ij} = a_{i1} \: b_{1j} + a_{i2} \: b_{2j} + \: ... \: + a_{ip} \: b_{pj} = \sum\limits_{k=1}^{p} a_{ik} \: b_{kj}\)

Własności iloczynu macierzy:

  • mnożenie macierzy jest łączne \(A(BC) = (AB)C\), dlatego zapis \(ABC\) jest jednoznaczny,

 mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania \(A(B + C) = AB + AC\) i
      \((B + C)A = BA + CA\)
,

  • mnożenie macierzy nie jest przemienne \(A  B \neq B  A\).

Przykład:

Dane są dwie macierze:

\(A = \begin{bmatrix}\:  2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4\end{bmatrix}\),  \(B=\begin{bmatrix} \: \: 1  & \: \:  3\\   \: \: 2  & -2\\ -1  &   \: 4\end{bmatrix}\)

Macierz \(A\) ma wymiar \(2 \times 3\) natomiast macierz \(B\) ma wymiar \(3 \times 2\), a więc mnożenie zarówno \(AB\) jak i \(BA\) można wykonać. Aby pomnożyć macierz \(A\) przez \(B\) należy zsumować iloczyny odpowiadających liczb z wierszy macierzy \(A\) z kolejnymi liczbami w wierszach macierzy \(B\), dokładnie tak jak pokazano na przykładzie poniżej. Najłatwiejszym sposobem mnożenia macierzy jest rozpisanie macierzy \(A\) po lewej stronie a macierzy \(B\) na górze, przecięcia się odpowiednich wierszy macierzy \(A\) z kolumnami macierzy \(B\) dają nam bardziej przejrzysty sposób mnożenia macierzy.



Mnożąc macierz \(A\) przez \(B\) otrzymujemy:



\(C = AB = \)

\(

\begin{matrix}
A \cdot B &
B=\begin{bmatrix}
\: \: {\color{Magenta} 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:& \: \: 3\\
\: \: {\color{Green} 2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:& -2\\
{\color{Orange} -}{\color{Orange}1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:& \: 4\end{bmatrix}\\
A=\begin{bmatrix}
\: {\color{Blue} 2} & {\color{Purple} 1} & {\color{DarkBlue} 3}\\
-1 & 2 & 4\end{bmatrix} & A\cdot B =\begin{bmatrix}
{\color{Blue} 2}\cdot{\color{Magenta} 1}+{\color{Purple}1}\cdot{\color{Green}2}+{\color{DarkBlue}3}\cdot{\color{Orange}-}{\color{Orange}1}, & 2\cdot3 + 1\cdot(-2)+3\cdot4\\
(-1)\cdot1+2\cdot2+4\cdot(-1), &(-1)\cdot3+2\cdot(-2)+4\cdot4\end{bmatrix}
\end{matrix}

\)


po wymnorzeniu otrzymujemy macierz wynikową:

\(C = \begin{bmatrix} \: \:  1 & 16 \\ -1 & \: \:  9\end{bmatrix}\)

Macierz \(C\) ma wymiar \(2 \times 2\).



Mnożąc macierz \(B\) przez \(A\) otrzymujemy:



\(D = BA = \)


\(
\begin{matrix}
B \cdot A
&
A=\begin{bmatrix}
\:\:\:{\color{Red} 2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
& {\color{Orchid}{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: 3\:\:\:\\
{\color{Green} -}{\color{Green} 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:& {\color{DarkRed}{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: 4\:\:\: \end{bmatrix}\\

B=\begin{bmatrix}
\: \: 1 & \: \: 3\\
\: \: {\color{Magenta} 2} & {\color{cyan} -}{\color{cyan}2}\\
{\color{DarkBlue}{-1}} & \: {\color{DarkOrange}{4}}\end{bmatrix}
&
\begin{bmatrix}
1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1), & 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2, & 1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \\
{\color{Magenta}2} \cdot {\color{Red}2} + ({\color{cyan} -}{\color{cyan}2}) \cdot {\color{Green} -}{\color{Green} 1}, & 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2, & 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 4 \\ (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-1), & {\color{DarkBlue}{(-1)}} \cdot {\color{Orchid}{1}} + {\color{DarkOrange}{4}} \cdot {\color{DarkRed}{2}}, & (-1) \cdot 3 + 4 \cdot 4\end{bmatrix}
\end{matrix}\)


po wymnorzeniu otrzymujemy macierz wynikową:

\(D = \begin{bmatrix} -1 & \: \:  7 & \: 15 \\ \: \:  6 & -2 & -2 \\ -6 & \: \:  7 & \: 13\end{bmatrix}\)

Macierz \(D\) ma wymiar \(3 \times 3\).




Przykładowe zadania



Zad. 1) Mając dane macierze wykonaj mnożenie macierzy

\(A=\begin{bmatrix}
2 & 5\\
1 & -2
\end{bmatrix}\) \(B=\begin{bmatrix}
3 & -1\\
7 & 4
\end{bmatrix}\)      Zobacz rozwiązanie


Zad. 2) Wykonaj mnożenie macierzy \(A=\begin{bmatrix}
3\\
7
\end{bmatrix}\) z podanymi macierzami:

\(B=\begin{bmatrix}
17
\end{bmatrix}\)

\(C=\begin{bmatrix}
17 & -11
\end{bmatrix}\)

\(D=\begin{bmatrix}
-13\\
5
\end{bmatrix}\)

\(E=\begin{bmatrix}
4 & -2\\
6 & 1
\end{bmatrix}\)

\(F=\begin{bmatrix}
2 & -5 & 1
\end{bmatrix}\)

\(G=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5\\
1 & -2 & 11\\
7 & 4 & -3
\end{bmatrix}\)    Zobacz rozwiązanie



Zad. 3) Wykonaj mnożenie macierzy:

\(\begin{bmatrix}
5 & -1 & 0\\
4 & 9 & 4\\
-10 & 0 & 7\\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
1 & -5 & 5\\
6 & -2 & 1\\
2 & 13 & -3
\end{bmatrix}\)    Zobacz rozwiązanie


Zad. 4) Wykonaj mnożenie:

\(\begin{bmatrix}
5 & 11 & 0 & 2\\
13 & 9 & 4 & 6\\
4 & -1 & 4 & -2\\
1 & -2 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 9 & 5\\
-6 & -1 & 2 & 1\\
-2 & -5 & 3 & 3\\
1 & 5 & 9 & 0
\end{bmatrix}\)      Zobacz rozwiązanie


Zad. 5) Wykonaj mnożenie macierzy:

\(\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
-3 & 3 \\
4 & -1 \\
-1 & 2 \\
0 & 7
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
1 & 7 & 0 & -1 & 9 & 0& 5\\
2 & -6 & -1 & 10 & 2 & -3 & 1\\
\end{bmatrix}\)      Zobacz rozwiązanie