Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Nierówności liniowe

Rozwiązywanie nierówności liniowych wymaga wiedzy na temat rozwiązywania równań liniowych. Sposób rozwiązywania jest bardzo podobny. W nierównościach, zamiast znaku równości „=”, występują znaki: \(> \:\:\: < \:\:\: \leqslant \:\:\: \geqslant \).
Proces rozwiązywania nierówności liniowych różni się od rozwiązywania równań liniowych tylko jedną zasadą, jeśli nierówność mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną to znak nierówności zamieniamy na odwrotny, czyli znak:

\(>\) zamienia się na \(<\)

\(>\) zamienia się na \(<\)

\(\leqslant\) zamienia się na \(\geqslant\)

\(\geqslant\) zamienia się na \(\leqslant\)

\(\begin{matrix}
2x+15\geqslant 6x+7 \\ \\
2x-6x\geqslant 7 -15\\ \\
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -4x\geqslant -8 \:\: / \: :(-4)\\ \\
x \leqslant 2 \\
\end{matrix}
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\begin{matrix}
2x+15= 6x+7 \\ \\
2x-6x= 7 -15\\ \\
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -4x= -8 \:\: / \: :(-4)\\ \\
x = 2 \\
\end{matrix}\)

W przypadku równania, rozwiązaniem jest jedna liczba, w przypadku nierówności, rozwiązaniem jest zbiór liczb. Rozwiązanie tego przypadku możemy zapisać:
- w postaci przedziału - \( x\: \epsilon \: (-\infty;2)\)
- lub nanieść na oś liczbową:
Nierówności liniowe

Nierówności możemy podzielić ze względu na posiadanie rozwiązanie:
- oznaczone – posiadają określony zbiór rozwiązań, np. x>4,
- tożsamościowe – dowolna liczba podstawiona za x spełnia równanie x>x+1
- sprzeczne - nie posiadają rozwiązania (nie istnieje taka liczba, która po podstawieniu za x będzie rozwiązaniem równania), np. x<x+1.

Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż nierówność, rozwiązanie zapisz w postaci zbioru
a) \(2x-4>2-x \)

b) \(5x+2<7x+6\) 

c) \( x+1\geqslant 2x+3\)

d) \( 4x-7\geqslant 7x+2\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Rozwiąż nierówność
a) \(3(x+2)-(2-5x)>2x-8\)

b)\( (x-2)^2\leqslant (x+3)(x-3)+1\)

c)\( 2x^2+2x-4>2(x-3)(x-1)\)

d)\(5(2-x)-2(x+3) \geqslant –(x-5)\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Rozwiąż nierówność, wyniki przedstaw na osi liczbowej
a)\( \frac{x}{3}+\frac{x+1}{3}>1\)

b)\( \frac{x+3}{2}+\frac{2x+1}{4}>\frac{3}{8}\)

c)\( \frac{5-x}{6}+\frac{1-x}{4}\leqslant \frac{1}{3}\)

d) \( x+\frac{x}{2}+\frac{x+5}{4}\leqslant \frac{x-2}{2}\)      Zobacz rozwiązanie