Nie masz jeszcze u Nas konta? Zarejestruj się | Zaloguj się

akceptuje  /  zamknij

Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Naukowiec.org

Nauka dla wszystkich




reklama sponsorowana

reklama sponsorowana

Nierówności z wartością bezwzględną

>> Masz problem z rozwiązaniem zadania? Kliknij tutaj <<

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną najłatwiej wykonuje się za pomocą interpretacji geometrycznej. Nierówności można rozwiązywać za pomocą równań algebraicznych, jednak na końcu zadania prawie zawsze trzeba będzie narysować wyniki na osi, żeby zapisać wynik. Osobom z dobrą wyobraźnią wystarczy, że wyobrażą sobie te przedziały i zapiszą wynik, co i tak oznacza, że zrozumienie zasad interpretacji geometrycznej będzie bardzo przydatne.


Nierówności z wartością bezwzględną rozwiązuje się analogicznie do równania z wartością bezwzględną. Te same typy równań i nierówności rozwiązuje się tymi samymi metodami. W poprzednim artykule wyjaśnione zostały główne typy równań w wartością bezwzględną.

Aby rozwiązać nierówność algebraicznie, należy skorzystać z zasady występującej w definicji wartości bezwzględnej:

\( |x|=\left\{\begin{matrix}

x\:\: dla \: x\geqslant 0\\

-x\:\: dla \: x<0

\end{matrix}\right.\)

Ogólnie mówiąc, nierówność typu \(|ax+b|<c\) zapisujemy jako dwie nierówności: \(ax+b<c\)     i     \(ax+b>-c\) Natomiast równanie typu \(|ax+b|>c\) zapisujemy jako dwie nierówności:

\(ax+b>c\)     lub     \(ax+b<-c\)

Typ 1

Przykład

\(|x|<5\)

Taką nierówność możemy, więc zapisać w postaci:

\(x<5\)         \( \wedge\)          \( x>-5\)

Tak otrzymany wynik można zapisać w postaci przedziału, jednak najpierw łatwiej narysować ją na osi liczbowej:

Nierówności wartość bezwzględna

a wynik odczytać z osi liczbowej:

\(x \: \epsilon \: (-5;5)\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności \(|x|<5\) jest \(x \: \epsilon \: (-5;5)\).

Typ 2

Przykład

\(||x+2|-3|>1\)
Aby rozwiązać równanie korzystamy z tej samej zasady, co powyżej, jednak korzystamy z niej dwa razy:

\(||x+2|-3|>1\)

\(|x+2|-3>1\)         \(\vee\)         \(|x+2|-3<-1\)

\(|x+2|>4\)             \(\vee\)             \(|x+2|<2\)

\(x+2>4\)     \(\vee\)     \(x+2<-4\)          \(x+2<2\)     \(\wedge\)     \(x+2>-2\)

\(x>2\)     \(\vee\)     \(x<-6\)          \(x<0\)     \(\wedge\)     \(x>-4\)

Z pierwszych dwóch nierówności \(x>2 \: \vee \: x<-6\) mamy:

nierówność wartość bezwzględna

czyli \(x \: \epsilon \: (-\infty;-6) \cup (2;+\infty)\)


z kolejnych dwóch przedziałów \(x<0\)   \(\wedge\)   \(x>-4\) mamy:
nierówność wartość bezwzględna

czyli \(x \: \epsilon \: (-4;0) \)

Ogólnym wynikiem będzie suma zbiorów: \((-\infty;-6) \cup (2;+\infty)\) oraz \((-4;0)\).

\(x \: \epsilon \: (-\infty;-6) \cup (-4;0) \cup (2;+\infty)\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania \(||x+2|-3|>1\) jest:

\(x \: \epsilon \: (-\infty;-6) \cup (-4;0) \cup (2;+\infty)\).

Symbol \(\vee\) oznacza \(lub\), symbol \(\wedge\) oznacza \(i\). Należy pamiętać, że przy rozbijaniu nierówności stosuje się je w ściśle określonych sytuacjach. Gdy mamy nierówności wyglądające następująco \(|ax+b|<c\) lub \(|ax+b| \leqslant c\) (chodzi o znak mniejszy lub mniejszy bądź równy), to taką nierówność zapisujemy jako dwie nierówności oddzielone znakiem \(i\)  ewentualnie \( \wedge\). Jeśli mamy równania jak wyżej, ale ze znakiem większy lub większy bądź równy, to taką nierówność zapisujemy jako dwie nierówności oddzielone \(lub\) ewentualnie symbolem \(\vee\).

Typ 3

Przykład

\(|x-3|+|x+5|>10\)

Na początku postępujemy jak przy równaniu, czyli sprawdzamy, kiedy \(x-3\) oraz \(x+5\) przyjmuje wartości ujemne a kiedy większe bądź równe zero.

\(x-3 \geqslant 0 \:\:\:\:\:\:\: x+5 \geqslant 0\)

\(x \geqslant 3 \:\:\:\:\:\:\: x \geqslant -5\)

Te wyniki wskazują przedziały, w jakich będziemy rozwiązywali naszą nierówność, dla łatwiejszego zobrazowania lepiej najpierw nanieść je na oś:

nierówność wartość bezwzględna

Otrzymujemy więc trzy przedziały:

1) \((-\infty;-5)\)

2) \(\left \langle  -5;3 \right )\)

3) \(\left \langle  3;+\infty \right )\)

W każdym z przedziałów wyrażenia \(x-3\) oraz \(x+5\) przyjmują określony znak (są dodatnie lub ujemne) i zgodnie z ich znakiem opuszczanie wartości bezwzględnej spowoduje zmianę ich znaku lub nie.

Przypadek pierwszy 1) \(x \epsilon (-\infty;-5)\)

\(|x-3|+|x+5|>10\)

Po opuszczeniu wartości bezwzględnych zmieniamy znak obu wyrażeni, ponieważ w tym przedziale przyjmują one wartości ujemne.

\(|x-3|+|x+5|>10\)

\(-(x-3)-(x+5)>10\)

\(-x+3-x-7>10\)

\(-2x>14\)

\(x<-7\)

Otrzymaliśmy przedział \(x \epsilon (-\infty;-7)\), cały ten przedział należy do naszego przedziału \((-\infty; -5)\), oznacza to, że rozwiązaniem równania jest \(x \epsilon (-\infty;-7)\).

Przypadek drugi 2) \(x \epsilon\left \langle  -5;3 \right )\)

\(|x-3|+|x+5|>10\)

W tym przedziale zmieniamy znak wyrażenia \(x-3\), natomiast wyrażenie \(x+5\) zostawiamy bez zmian:

\(|x-3|+|x+5|>10\)

\(-(x-3)+(x+5)>10\)

\(-x+3+x+5>10\)

\(7>10\)

Otrzymaliśmy wyrażenie sprzeczne, oznacza to, że żadna liczba z przedziału \(\left \langle  -5;3 \right )\) nie jest rozwiązaniem nierówności.

Przypadek trzeci 3) \(x \epsilon\left \langle  3;+\infty \right )\)

\(|x-3|+|x+5|>10\)

W tym przedziale opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaków wyrażeń \(x-3\) oraz \(x+5\), ponieważ przyjmują one wartości dodatnie w tym przedziale:

\(|x-3|+|x+5|>10\)

\(x-3+x+5>10\)

\(2x>8\)

\(x>2\)

Otrzymaliśmy przedział \(x \epsilon (2;+\infty)\), cały ten przedział należy do naszego przedziału \(\left \langle  3;+\infty \right )\), oznacza to, że rozwiązaniem równania jest \(x \epsilon \left \langle  3;+\infty \right )\).

Odpowiedź:Rozwiązaniem równania jest \(x \epsilon (-\infty;-7) \cup\left \langle  3;+\infty \right )\).

Przedstawione powyżej trzy typy nierówności z wartością bezwzględną są najczęściej występującymi. Umiejętność rozwiązywania tych typów w zupełności wystarczy w szkole.

Przykładowe zadania

Zad. 1) Rozwiąż nierówności:

a) \(|x|<4\)     b) \(|x|>2\)     c) \(|x|<-5\)

d) \(|x-4|<2\)     e) \(|x+3|>1\)     f) \(|x-2|\leqslant 6\)     Zobacz rozwiązanie


Zad. 2) Rozwiąż nierówność, korzystając z interpretacji geometrycznej na osi liczbowej:

a) \(|x|<5\)     b) \(|x−4|>2\)     c) \(|x−3|\geqslant 1\)     d) \(|x−2|\leqslant 3 \)

e) \(|x−1|>0\)     f) \(|x+2|>4\)     g) \(|x+3|\geqslant −1\)     h) \(|x+4|\leqslant 2\)

Zobacz rozwiązanie


Zad. 3) Rozwiąż nierówność:

a) \(||x-3|-5|\geqslant 2\)     b) \(||x-4|-6|>3\)     c) \(||x+3|-7|<2\)


Zobacz rozwiązanie


Zad. 4)
Rozwiąż nierówności:

a) \(|x-5|+|x+6|>11\)     b) \(|x+1|+|x-2|<4\)    

c) \(|x+1|+|x-2 |+|x-3|\leqslant 11\)

Zobacz rozwiązanie



Komentarze (0):

Brak komentarzy.
x

Naukowiec.org na facebooku

Nie czekaj dłużej! Dołącz już teraz do społeczności naukowiec.org na facebooku

Trwa ładowanie wtyczki..
Zamknij