Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Niezależny układ zdarzeń



Niezależny układ zdarzeń – to zbiór zdarzeń należący do tej samej rodziny zdarzeń (przestrzeni zdarzeń), w którym występują zdarzenia niezależne zespołowo, czyli występują więcej niż dwa zdarzenia, dla których zachowana jest zależność, że prawdopodobieństwo ich iloczynu jest równe iloczynu ich prawdopodobieństwa. Występują one wtedy, gdy prawdopodobieństwo zdarzenia jest takie samo, niezależnie od zajścia zdarzenia innego z niezależnych zdarzeń.

Przykład: 3-krotna gra w papier, kamień, nożyce, zdarzenie A – w pierwszej rundzie przeciwnik wybierze papier, zdarzenie B - w drugiej rundzie przeciwnik wybierze nożyce, zdarzenie C – w trzeciej rundzie przeciwnik wybierze papier.

Oznaczmy P – przeciwnik wybierze papier; K - przeciwnik wybierze kamień; N - przeciwnik wybierze nożyce;

\(\Omega = \{ PPP, PPK, PPN, PKP, PKK, PKN, PNP, PNK, PNN,\)
\(KPP, KPK, KPN, KKP, KKK, KKN, KNP, KNK, KNN, \)
\(NPP, NPK, NPN, NKP, NKK, NKN, NNP, NNK, NNN
 \}\)

\(\left | \Omega \right |=27\)

\(A=\left \{ PPP, PPK, PPN, PKP, PKK, PKN, PNP, PNK, PNN \right \}\)

\(\left | A \right |=9\)

\(B=\left \{ PNP, PNK, PNN, KNP, KNK, KNN, NNP, NNK, NNN \right \}\)

\(\left | B \right |=9\)

\(C=\left \{ PPP, PKP, PNP, KKP, KNP, NKP, NNP \right \}\)

\(\left | C \right |=9\)

\(A\cap B = \left \{ PNP, PNK, PNN \right \}\)

\(\left | A\cap B \right |=3\)

\(A\cap C=\left \{ PPP,PKP,PNP \right \}\)

\(\left | A\cap C \right | =3\)

\(B\cap C = \left \{ PNP,KNP,NNP \right \}\)

\(\left | B\cap C \right | =3\)

\(A\cap B\cap C = \left \{ PKP \right \}\)

\(\left | A\cap B\cap C \right | = 1\)

Możemy więc sytuację następującą

\(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac {9}{27}=\dfrac{1}{3}\)

\(P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\dfrac{3}{27}=\dfrac{1}{9}\)

\(P(A\cap B\cap C ) =\dfrac{1}{27}\)

mając wszystkie prawdopodobieństwa możemy określić warunki z definicji:

\(P(A\cap B ) =P(A)\cdot P(B)\)

\(P(A\cap C ) =P(A)\cdot P(C)\)

\(P(B\cap C ) =P(B)\cdot P(C)\)

\(P(A\cap B\cap C ) =P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\)

wszystkie warunki są spełnione, możemy więc powiedzieć, że zdarzenia A, B, C są niezależnym układem zdarzeń.