Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową można zapisać na kilka sposobów, z czego każda postać może nam coś opowiedzieć o funkcji.
1) najbardziej znaną postacią funkcji kwadratowej jest postać ogólna:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

Funkcja w tej postaci jest przygotowana do przeprowadzania obliczeń, łatwo z niej obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\),

\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)

Ze wzoru funkcji w postaci ogólnej możemy ustalić w łatwy sposób:
- w którą stronę są skierowane ramiona paraboli – dla \(a>0\) w górę; dla \(a<0\) w dół
- punkt przecięcia z osią OY \((0,c)\)
Oczywiście możemy wyliczyć inne dane, jednak potrzeba już chwili by je obliczyć.
- współrzędne wierzchołka funkcji \(W=(p;q)\):

\(p=-\frac{b}{2a}\)

\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)

2) Postać kanoniczna jest najlepszą postacią, gdy szukamy wierzchołka funkcji:

\(f(x)=a(x-p)^2+q\)

Z tej postaci szybko odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Oczywiście, również łatwo ustalić kierunek ramion.

3) Postać iloczynowa umożliwia szybkie odczytanie miejsc zerowych:

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Jak łatwo zauważyć, miejsca zerowe to \(x_1\) oraz \(x_2\).

Kierunek, w którą stronę są skierowane ramiona paraboli – dla \(a>0\) w górę; dla \(a<0\) w dół.

Należy pamiętać, że jeżeli funkcja nie posiada miejsc zerowych, to nie przekształcimy jej do tej postaci.

Zamiana postaci funkcji – ogólna, kanoniczna, iloczynowa.

Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)

Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)

Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Niezbędne wzory do przekształcenia:

Na postać iloczynową

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)

Pamiętaj, że jeżeli \(\Delta <0\) jest mniejsza od zera, to postać iloczynowa nie istnieje.

Na postać kanoniczną

\(p=-\frac{b}{2a}\)

\(q=-\frac{\Delta}{4a}\)

Na postać ogólną

Wzór skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Przykładowe zadania
Zad. 1) Mając funkcje z postaci kanonicznej, podaj współrzędne wierzchołka funkcji:
a) \(f(x)=2(x-4)^2+5\)

b) \(f(x)= (x+10)^2+1\)

c) \(f(x)= -3(x-7)^2\)

d) \(f(x)= 2(x+3)^2-3\)

e) \(f(x)= 2(x+1)^2-8\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Mając funkcje w postaci iloczynowej podaj miejsca zerowe:
a) \(f(x)=3(x-5)(x+2)\)

b)\(f(x)=-2(x+3)(x+7)\)

c)\(f(x)=(x-1)(x+1)\)

d) \(f(x)=(x+4)(x-6)\)

e) \(f(x)=(x-2)(x-12)\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Przekształć podaną funkcje na postać kanoniczną i iloczynową.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)

b) \(f(x)=5x^2-2=\)

c) \(f(x)=x^2-3x-7\)

d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)

e) \(f(x)=90+x^2-3x\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Przekształć podaną funkcje na postać ogólną i iloczynową.
a) \(f(x)=(x+2)^2-7\)

b) \(f(x)=2(x-1)^2+1\)

c) \(f(x)=-4(x+5)^2-3\)

d) \(f(x)=(x+1)^2\)

e) \(f(x)=-(x-0)^2\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Przekształć podaną funkcje na postać ogólną ikanoniczną.
a) \(f(x)=(x-2)(x+1)\)

b) \(f(x)=2(x+4)(x+2)\)

c) \(f(x)=(x-3)(x-1)\)

d) \(f(x)=-3(x-6)(x+0)\)

e) \(f(x)=-(x+1)(x+5)\)      Zobacz rozwiązanie