Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Przebieg zmienności funkcji


Przebieg zmienności funkcji służy do zbadania właściwości funkcji jednej zmienne, jest to bardzo schematyczne zadanie, które sprawdza większość wiedzy wymaganej w szkołach z zakresu analizy matematycznej. Przebieg zmienności wykorzystuje pierwszą i drugą pochodną do dokładniejszego zobrazowania funkcji. Poniżej zamieszczono listę czynności (zadań), jakie w kolejności należy wykonać analizując przebieg zmienności funkcji. Należy pamiętać, że praktycznie wszystkie wyniki od razu najlepiej wprowadzać do zbiorczej tabelki, bardzo ułatwi to szkicowanie wykresu funkcji na koniec.

Przebieg zmienności funkcji składa się z:
1) wyznaczenie dziedziny funkcji
2) wyznaczenie punktów przecięcia z osiami OX (miejsca zerowe) oraz OY 
3) określenie parzystości funkcji
4) wyznaczenie asymptot pionowej, poziomej i ukośnej
5) wyznaczenie pochodnej funkcji, oraz na jej podstawie
 5a) wyznaczenie monotoniczności
 5b) wyznaczenie ekstremów
6) wyznaczenie drugiej pochodnej, oraz na jej podstawie
 6a) wyznaczenie wklęsłości i wypukłości
 6b) wyznaczenie punktów przegięcia
7) tabelka podsumowująca
8) naszkicowanie wykresu funkcji
9) wyznaczenie zbioru wartości
Poniżej przedstawiono przykład wyznaczania przebiegu zmienności funkcji.

Przykład

Zbadaj przebieg zmienności funkcji 

\(f(x)= \dfrac{x^2}{x^2-9}\)

zawsze należy zacząć od dziedziny, mamy mianownik a to co w mianowniku nie może być równe zero, więc

\(x^2-9 \neq 0\)
\(x^2\neq 9\)
\(x\neq -3 \:\:\: \vee \:\:\: x \neq 3\)

Tak więc dziedzina funkcji to 

\(D_f=R \setminus \{-3;3\}\) można ją inaczej zapisać, w postaci przedziałów taka postać wprost nakierowuje nas na inne własności, czyli \({\color{DarkRed}{D_f=(-\infty ; -3) \cup (-3;3) \cup (3;+\infty )}}\)


następnie wyznaczymy miejsca przecięcia funkcji z osiami:

aby obliczyć miejsca przecięcia z osią OX należy przyrównać wartość funkcji do zera

\(f(x)=0\)

\(\dfrac{x^2}{x^2-9}=0\:\:/\:\cdot(x^2-9)^2\)

\(x^2\cdot (x^2-9)=0\)

\(x^2=0\:\:\vee \:\:x^2-9=0\)

\(x=0\:\:\vee\:\:(x-3)(x+3)=0\)

\(x=0\:\:\vee\:\:x-3=0\:\:\vee\:\:x+3=0\)

\(x=0\:\:\vee\:\:x=3\:\:\vee \:\:x=-3\)

w toku obliczeń wyszły trzy liczby \(0\); \(3\); \(-3\) jednak liczby \(3\) i \(-3\) nie należą do dziedziny i są odrzucone, pozostało jedynie \(0\), więc jedyny punkt przecięcia z osią OX to \({\color{DarkRed}{(0,0)}}\). Aby wyliczyć punkty przecięcia z osią OY należy za \(x\) podstawić zero do wzoru funkcji, jednak punkt ten już mamy, mimo to przejdźmy cały tok rozumowania:

\(f(0)=\dfrac{0^2}{0^2-9}=\dfrac{0}{0-9}=\dfrac{0}{-9}=0\)

więc dla \(x\) równego zero f(x) też wynosi zero więc otrzymaliśmy punkt \({\color{DarkRed}{(0;0)}}\)

kolejna rzecz to określenie parzystości, czyli sprawdzenie czy \(f(x)=f(-x)\) lub \(-f(x)=f(-x)\), w obu członach mamy \(f(-x)\) i od tego zacznijmy:

\(f(-x)=\dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-9}=\dfrac{x^2}{x^2-9}=f(x)\)

w dość łatwy sposób wyszło nam, że \(f(x)=f(-x)\) więc funkcja jest funkcją parzystą - czyli jej wykres jest symetryczny względem osi OY. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie asymptot. Wyznaczanie asymptot zaczniemy od pionowych, szuka się ich w miejscach nieciągłości dziedziny, czyli jeśli dziedzina wynosi \(D_f=(-\infty ; -3) \cup (-3;3) \cup (3;+\infty )\) to miejsca w których może być asymptota pionowa to \(-3\) oraz \(3\). Właśnie dla takich x-ów będziemy obliczać granicę funkcji:

\(\lim\limits_{x \to -3^-}f(x)\:\:\:\:\:\:\lim\limits_{x \to -3^+}f(x)\:\:\:\:\:\:\lim\limits_{x \to 3^-}f(x)\:\:\:\:\:\:\lim\limits_{x \to 3^+}f(x)\)

bo w dziedzinie mamy właśnie takie argumenty \(-3^-\:,\:-3^+\:,\:3^-\:,\:3^+\), przejdźmy do obliczania granic:

\(\lim\limits_{x \to -3^-}f(x)=\lim\limits_{x \to -3^-}\dfrac{x^2}{x^2-9}=\dfrac{(-3^-)^2}{(-3^-)^2-9}=\)

\(=\dfrac{9}{9^+-9}=\dfrac{9}{0^+}=\dfrac{9}{\frac{1}{+\infty}}=9\cdot(+\infty)=+\infty\)

wynika z tego, że dla x=-3 funkcja posiada asymptotę pionową lewostronną, analogicznie obliczamy pozostałe granice,

\(\lim\limits_{x \to -3^+}f(x)=-\infty\)

\(\lim\limits_{x \to 3^-}f(x)=-\infty\)

\(\lim\limits_{x \to 3^+}f(x)=+\infty\)

wynika z tego że funkcja posiada asymptotę obustronną o równaniu \(x=-3\), oraz asymptotę obustronną o równaniu \(x=3\). Teraz zajmiemy się asymptotami poziomymi i ukośnymi, szukamy ich jeśli w dziedzinie funkcji mamy plus lub minus nieskończoność. W naszym przypadku mamy i \(+\infty\) i \(-\infty\). Aby obliczyć asymptotę poziomą trzeba obliczyć granicę funkcji dążącą do nieskończoności.

\(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)\:\:\:\:\:\:\:\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)\)

jeśli z tych granic nie wyjdzie nam liczba to będziemy szukać asymptot ukośnych, jeżeli i to nie wyjdzie to moglibyśmy napisać, że funkcja nie ma asymptot poziomych ani ukośnych, najpierw jednak sprawdźmy czy są asymptoty poziome.

\(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{x^2}{x^2-9}=1\)

\(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x^2}{x^2-9}=1\)

wynika z tego, że funkcja posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(y=1\)

punkt 5 z listy to wyznaczanie pochodnej z funkcji, więc obliczmy pochodną funkcji:

\(f'(x)=\left ( \dfrac{x^2}{x^2-9} \right )' = \dfrac{(x^2)'(x^2-9)-x^2(x^2-9)}{(x^2-9)^2}=\)

\(=\dfrac{2x(x^2-9)-x^2\cdot 2x}{(x^2-9)^2}=\dfrac{2x^3-18x-2x^3}{(x^2-9)^2}=\dfrac{-18x}{(x^2-9)^2}\)

pochodna funkcji wynosi:

\(f(x)=\dfrac{-18x}{(x^2-9)^2}\)

dziedzina pochodnej jest dokładnie taka sama jak dziedzina funkcji podstawowej, czyli:

\(D_{f'}=(-\infty ; -3) \cup (-3;3) \cup (3;+\infty )\)

następnie wyznaczymy monotoniczność funkcji, cała sztuka w wyznaczaniu monotoniczności polega na ustaleniu przedziałów w których monotoniczność się zmienia (w których funkcja rośnie a w których funkcja maleje). Poszukiwania tych przedziałów zawsze rozpoczynamy od przyrównania pochodnej do zera i rozwiązania:

\(f'(x)=0\)

 \(\dfrac{-18x}{(x^2-9)^2}=0\:\:/\cdot (x^2-9)^2\)

\(-18x=0\)

\(x=0\)

tak więc pierwszym argumentem dzielącym funkcje na różne przedziały monotoniczności będzie x=0, kolejnymi będzie \(-3\) i \(3\) punkty nieciągłości w dziedzinie. Taki podział daje nam następujące przedziały:

\((-\infty;-3)\: \:\cup\:\: (-3;0>\:\: \cup \:\: (0;3)\:\: \cup \:\:(3;+\infty)\)

gdy to mamy wyznaczone, pozostaje nam wyznaczenie znaku pochodnej w tych przedziałach, polega to na tym, że wybieramy dowolną liczbę z danego przedziału i wstawiamy do wzoru na pochodną - otrzymany wynik nas nie do końca interesuje, ponieważ chcemy znać tylko znak liczby czy jest dodatni czy ujemny, ponieważ jak znak jest dodatni to oznacza, że funkcja jest rosnąca a jak jest ujemny to funkcja jest malejąca, więc:

dla \((-\infty;-3)\) wybieramy \(-5\) :

\(f'(-5)=\dfrac{-18\cdot (-5)}{((-5)^2-9)^2}=\dfrac{90}{(25-9)^2}=\dfrac{90}{256}\)

znak jest \(+\) dodatni, więc funkcja podstawowa w tym przedziale jest rosnąca

dla \((-3;0>\) wybieramy \(-1\) :

\(f'(-1)=\dfrac{-18\cdot (-1)}{((-1)^2-9)^2}=\dfrac{18}{(1-9)^2}=\dfrac{18}{64}\)

znak jest \(+\) dodatni, więc funkcja podstawowa w tym przedziale jest rosnąca

dla \((0;3)\) wybieramy \(1\) :

\(f'(1)=\dfrac{-18\cdot 1}{((1)^2-9)^2}=\dfrac{-18}{(1-9)^2}=\dfrac{-18}{64}\)

znak jest \(-\) ujemny, więc funkcja podstawowa w tym przedziale jest malejąca

dla \((3;+\infty)\) wybieramy \(10\) :

\(f(10)=\dfrac{-18\cdot 10}{((10)^2-9)^2}=\dfrac{-180}{(100-9)^2}=\dfrac{-180}{91}\)

znak jest \(-\) ujemny, więc funkcja podstawowa w tym przedziale jest malejąca

następnie ustalimy czy funkcja posiada ekstremum (minimum lub maksimum). Aby tego dokonać trzeba najpierw pochodną funkcji przyrównać do zera i rozwiązać takie równanie (kilka linijek wyżej zrobiliśmy to), w taki sposób otrzymamy punkty podejrzane o ekstremum,
wyszło nam \(x=0\)
następnie trzeba sprawdzić znak pochodnej w otoczeniu tych podejrzanych punktów, jeśli będzie z lewej plus a z prawej minus to jest w tym punkcie ekstremum a dokładniej maksimum, jeśli z lewej będzie minus a z prawej strony punktu będzie plus to będzie w tym punkcie minimum, jeśli będą to dwa plusy lub dwa minusy to w tym punkcie nie ma ekstremum,
w naszym przypadku w okolicy \(x=0\) mamy dwa przedziały \((-3;0) \:\:\vee\:\:(0;3)\) pierwszy ma znak plus a drugi minus, co oznacza, że funkcja ma maksimum,
na koniec jeśli wyjdzie nam jakieś ekstremum to trzeba wyliczyć współrzędne tego punktu. 
wiemy, że ekstremum występuje dla \(x=0\), po wstawieniu zera do głównego wzory funkcji otrzymujemy zero \(f(0)=0\) co daje nam punkt \((0;0)\) możemy więc powiedzieć, że:

funkcja f(x) posiada maksimum w punkcie \((0;0)\)

następnie przejdziemy do obliczenia drugiej pochodnej. Drugą pochodną obliczymy licząc pochodną z pierwszej pochodnej, więc:

\(f''(x)=\left ( f'(x)) \right )'=\left ( \dfrac{-18x}{(x^2-9)^2} \right )'= \)

\(=\dfrac{(-18x)'(x^2-9)^2-(-18x)\left ( (x^2-9)^2 \right )'}{((x^2-9)^2)^2}= \)

\(=\dfrac{-18(x^2-9)^2+18x\cdot 2(x^2-9)\cdot 2x}{(x^2-9)^4}= \)

\(=\dfrac{18(x^2-9)\left ( -x^2+9+4x^2 \right )}{(x^2-9)^4}= \)

\(=\dfrac{18(x^2-9)\left ( 3x^2+9 \right )}{(x^2-9)^4}= \)

\(=\dfrac{54\left ( x^2+3 \right )}{(x^2-9)^3}\)

więc druga pochodna funkcji wynosi:

\(f''(x)=\dfrac{54\left ( x^2+3 \right )}{(x^2-9)^3}\)

dziedzina drugiej pochodnej jest taka sama jak funkcji powyżej, czyli

\(D_{f''}=(-\infty ; -3) \cup (-3;3) \cup (3;+\infty )\)

z drugiej pochodnej jesteśmy w stanie wyliczyć wklęsłość lub wypukłość funkcji oraz punkty przegięcia. Aby to wyliczyć należy drugą pochodną funkcji przyrównać do zera i rozwiązać takie równanie.

\(f''(x)=0\)

\(\dfrac{54 ( x^2+3 )}{(x^2-9)^3}=0\:\:\:/\cdot (x^2-9)^3\)

\(54( x^2+3 )=0\)

\(x=\varnothing\)

z równania wyszło nam x=zbiór pusty, co oznacza że funkcja nie ma punktów przegięcia, przedziały wklęsłości wyliczymy z dziedziny i będziemy je wyliczali analogicznie jak monotoniczność. Jeśli druga pochodna w danym przedziale jest dodatnia to oznacza że funkcja podstawowa w tym przedziale jest wypukła, natomiast jeżeli druga pochodna w danym przedziale jest ujemna to funkcja podstawowa jest wklęsła - obliczmy będzie jaśniej:

przedziały z dziedziny to \((-\infty ; -3) \vee (-3;3) \vee (3;+\infty )\), w każdym z nich ustalimy znak funkcji,

dla \((-\infty ; -3)\) wybieramy \(-10\) bo należy do tego przedziału i wstawiamy do wzoru na drugą pochodną

\(f''(-10)=\dfrac{54\left ( (-10)^2+3 \right )}{((-10)^2-9)^3}=\)

\(=\dfrac{54\cdot103}{(100-9)^3}=\dfrac{54\cdot103}{91^3}\)

nie potrzeba dalej liczyć bo zostały same dodatnie liczby a po wymnożeniu i podzieleniu dadzą na pewno liczbę dodatnią, oznacza to, że w tym przedziale funkcja \(f(x)\) jest wypukła

dla \((-3;3)\) wybieramy np. \(0\) bo należy do tego przedziału i wstawiamy do wzoru na drugą pochodną

\(f''(0)=\dfrac{54\left ( 0^2+3 \right )}{(0^2-9)^3}=\dfrac{54\cdot 3}{(0-9)^3}=\dfrac{54\cdot 3}{(-9)^3}=\dfrac{162}{-729}\)

znak drugiej pochodnej w tym przedziale jest ujemny, oznacza to, że w tym przedziale funkcja \(f(x)\) jest wklęsła

dla \((3;+\infty )\) możemy wybrać np. \(10\) bo należy do tego przedziału i wstawiamy do wzoru na drugą pochodną

\(f''(10)=\dfrac{54\left ( 10^2+3 \right )}{(10^2-9)^3}=\)

\(=\dfrac{54\cdot103}{(100-9)^3}=\dfrac{54\cdot103}{91^3}\)

podobnie jak w pierwszym przypadku widać, że wynikiem będzie liczba dodatnia, oznacza to, że funkcja f(x) w tym przedziale jest wypukła

W tym miejscu kończymy etap obliczania, pozostało już tylko zebrać wszystkie wyniki do jednej zbiorczej tabelki oraz naszkicować wykres funkcji. Zaczynamy zawsze od \(x\) i wypisujemy wszystkie punkty a pomiędzy nimi przedziały, następnie tam gdzie są wpisane przedziały wstawiamy to co nam wyszło z pierwszej i drugiej pochodnej - czyli gdzie funkcja rośnie, maleje gdzie jest wypukła a gdzie wklęsła, tak jak poniżej.

\(x\) \((-\infty;-3)\) \(-3\) \((-3;0)\) \(0\) \((0;3)\) \(3\) \((3;+\infty\)
\(f(x)\) brak \(0\) brak
\(f'(x)\) rosnącafunkcja rosnąca brak rosnącafunkcja rosnąca malejącafunkcja malejąca brak malejącafunkcja malejąca
\(f''(x)\) wypukłafunkcja wypukła brak wklęsłafunkcja wklęsła wklęsłafunkcja wklęsła brak wypukłafunkcja wypukła


Gdy mamy już tak uzupełnione dane to możemy zrobić końcową tabelkę, nie różni się ona dużo ale w wierszu f(x) wrysowuje się kształt jaki będzie miała funkcja,

\(x\) \((-\infty;-3)\) \(-3\) \((-3;0)\) \(0\) \((0;3)\) \(3\) \((3;+\infty\)
\(f(x)\) funkcja rosnąca wypukła brak funkcja rosnąca wklęsła \(0\) funkcja malejąca wklęsła brak funkcja malejąca wypukła
\(f'(x)\) rosnąca brak rosnąca malejąca brak malejąca
\(f''(x)\) wypukła brak wklęsła wklęsła brak wypukła

teraz przechodzimy do naszkicowania wykresu funkcji, zaczynamy od naniesienia asymptot funkcji, z wyników wcześniejszych wiemy, że funkcja ma trzy asymptoty obustronne, asymptoty pionowe są mają równania \(x=-3\) oraz \(x=3\) i wyszły z granic:

\({\color{Purple}{\lim\limits_{x \to -3^-}f(x)=+\infty}}\)

\({\color{Yellow}{\lim\limits_{x \to -3^+}f(x)=-\infty}}\)

\({\color{DarkGreen}{\lim\limits_{x \to 3^-}f(x)=-\infty}}\)

\({\color{Red}{\lim\limits_{x \to 3^+}f(x)=+\infty}}\)

to trzeba dobrze zrozumieć, np. czwarta granica - granica funkcji dążącej do \(3^+\) wynosi plus nieskończoność, oznacza to, że na wykresie jak mamy pionową asymptotę \(x=3\) to z prawej strony liczby trzy (bo mamy trzy z plusem) będzie zaczynał się wykres w plus nieskończoności (plus czyli od góry):


asymptoty
analogicznie będzie z asymptotą poziomą o równaniu \(y=1\)

funkcja asymptoty
pozostało już połączyć przedziały zachowując kształt jaki ustalono w tabelce i nanieść punkt \((0;0)\) oraz podczas rysowania w tym punkcie przedstawić maksimum. Ostateczny szkic wykresu funkcji \(f(x)\) to:

funkcja przebieg zmienności
zbiór wartości określamy z wykresu, najłatwiej go sobie wyobrazić spłaszczając cały wykres na oś OY wtedy przedziały jakie powstaną będą zbiorem wartości:

\(ZW=(-\infty;0>\:\:\cup \:\: (1;+\infty)\)