Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Punkt przegięcia


Aby obliczyć punkty przegięcia (definicja) trzeba:
1) obliczyć drugą pochodną funkcji,
2) przyrównać ją do zera, 
3) rozwiązać równanie, (sprawdzić czy należy do dziedziny funkcji)
4) sprawdzić znak drugiej pochodnej po lewej i prawej stronie argumentu x jaki wyjdzie nam z równania.
Punkt przegięcia
Zagadnienie to jest ściśle związana z pojęciem wklęsłości i wypukłości funkcji (definicjąprzykład).
Jak to zrobić najlepiej zaprezentuje przykład:

Przykład 1

Wyznacz punkty przegięcia funkcji \(f(x)=x^6\).

Pierwszą rzeczą jaką zawsze trzeba wykonać to wyznaczenie dziedziny funkcji, w tym przypadku to \(D_f=R\), czyli wszystkie liczby rzeczywiste, następnie trzeba obliczyć drugą pochodną (najpierw pierwszą pochodną, następnie z pierwszej pochodnej obliczamy pochodną, co daje nam drugą pochodną):

\(f(x)=x^6\)

\(f'(x)= 6x^5\)

\(f''(x)=(f'(x))'=30x^4\)

teraz przyrównujemy drugą pochodną do zera:

\(30x^4=0\) 

i rozwiązujemy równanie

\(30x^4=0\:\:/ :30\)

\(x^4=0\)

\(x=0\)

mamy x=0, który jest podejrzany o bycie punktem przegięcia, następnie trzeba sprawdzić znak drugiej pochodnej po lewej i prawej stronie funkcji:

aby sprawdzić znak funkcji z lewej strony x=0 do drugiej pochodnej wstawimy np. -2

\(f''(-2)= (-2)^4= 16\)

wynikiem jest dodatnia liczba więc znak drugiej pochodnej z lewej strony x=0 jest \(+\)dodatni, następnie sprawdzimy znak z prawej strony x=0, podstawiając np. +3:

\(f(3)=3^4= 81\)

wynikiem jest liczba dodatnia więc znak drugiej pochodnej z lewej strony x=0 jest \(+\) dodatni. Z obu stron x=0 druga pochodna funkcji ma dodatni znak, oznacza to, że dla argumentu x=0 funkcja f(x) nie ma punktu przegięcia, gdyby z dwóch stron były różne znaki to byłby punkt przegięcia.

Przykład 2

Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji \(f(x)=e^{-x^2}\).
Dziedzina funkcji to \(D_f=R\).

Najpierw obliczamy drugą pochodną funkcji:

\(f'(x)=-2x\cdot e^{-x^2}\)

\(f''(x)= -2e^{x^2}-2x(-2x)e^{x^2}\)

\(f''(x)= -2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}\)     lub     \(f''(x)= 2e^{x^2}(2x^2-1)\)

następnie wyliczoną pochodną przyrównujemy do zera i rozwiązujemy.

\(f''(x)=0\)

\(2e^{x^2}(2x^2-1)=0\)

\(2e^{x^2}=0 \:\:\:\vee\:\:\:2x^2-1=0\)

\(2x^2=1\)

\(x^2=\dfrac{1}{2}\)

\(x_1= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\:\:\:\vee\:\:\:x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

mamy więc dwa punkty podejrzane o bycie punktem przegięcia, teraz trzeba sprawdzić znak drugiej pochodnej w każdym z trzech przedziałów (wyznaczonych przez \(x_1\) oraz \(x_2\)), czyli 

1 -  \((-\infty;-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\)

2 -  \((-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2})\)

3 -  \((\dfrac{\sqrt{2}}{2};+\infty)\)

więc:

1 -  dla \((-\infty;-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\) wybierzemy -10 i wstawimy do wzoru drugiej pochodnej,

\(f''(-10)= 2e^{-(-10)^2}(2(-10)^2-1)=2e^{-100}\cdot 199=398e^{-100}\)

wynik jest liczbą dodatnią, co oznacza, że funkcja jest wypukłą.

2 -  dla \((-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2})\) wybierzemy \(0\) bo należy do przedziału,

\(f''(0)= 2e^{-(0)^2}(2(0)^2-1)=2e^0\cdot (-1)=-2\)

wynik jest liczbą ujemną, co oznacza, że funkcja podstawowa w tym przedziale jest wklęsła.

3 - dla \((\dfrac{\sqrt{2}}{2};+\infty)\) wybierzemy liczbę 10,

\(f''(10)= 2e^{-(10)^2}(2(10)^2-1)=2e^{-100}\cdot 199=398e^{-100}\)

wynik podobnie jak w pierwszym przedziale jest liczbą dodatnią, co oznacza, że funkcja w tym przedziale jest wypukła.

Możemy juz jednoznacznie określić punkty przegięcia:

dla \(x= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) z lewej strony druga pochodna jest dodatnia, z prawej jest ujemna - wniosek funkcja posiada punkt przegięcia dla \(x= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

dla \(x= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) z lewej strony druga pochodna jest ujemna, z prawej jest dodatnia - wniosek funkcja posiada punkt przegięcia dla \(x= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

pozostaje wyliczyć jedynie współrzędne punktów przegięcia

\(f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=e^{-\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}=e^{-\frac{1}{2}}\)

\(f(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=e^{-\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}=e^{-\frac{1}{2}}\)

Odpowiedź:

Funkcja posiada dwa punkty przegięcia \(A=\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};e^{-\frac{1}{2}} \right )\) oraz \(B=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2};e^{-\frac{1}{2}} \right )\), funkcja jest wklęsła dla \(x\:\epsilon \:(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2})\), funkcja jest wypukła dla \(x\:\epsilon \:(-\infty;-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\:\cup\:(\dfrac{\sqrt{2}}{2};+\infty)\)