Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Równania kwadratowe

Równania kwadratowe to równania, w których niewiadoma x występuje w drugiej potędze, może oczywiście występować w pierwszej. Do rozwiązywania równań kwadratowych bardzo przydatna będzie wiedza o rozwiązywaniu równań liniowych. Rozwiązaniem równania kwadratowego będzie ta wartość niewiadomej x, która po podstawieniu do równania spełnia to równanie (po lewej i prawej stronie równania otrzymamy tą samą wartość).
Przykłady równań kwadratowych:
\(x^2=9 \: ; \:\:\: 3x^2+4x+6=0 \: ; \:\:\: -5x^2=1-3x\)

Schemat rozwiązywania równań kwadratowych przedstawiono w oddzielnym artykule.

Podstawowe wzory występujące w równaniach kwadratowych
Dla postaci \(ax^2+bx+c=0\)
Delta \(\Delta = b^2-4ac\)
Pierwiastki (rozwiązania) równania w zależności od wartości delty (\(\Delta \):

- jeżeli Δ > 0, to równanie kwadratowe ma dwa miejsca zerowe
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

- jeżeli Δ = 0, to równanie kwadratowe ma dokładnie jedno miejsce zerowe:
\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)
- jeżeli Δ < 0, to równanie kwadratowe nie ma miejsc zerowych.

Przykładowe zadania
Zad. 1) Z podanych równań kwadratowych w postaci ogólnej \(ax^2+bx+c=0\) wyznacz współczynnik \(a,b,c\).
a) \(2x^2+3x+7=0\)

b) \(5x^2-2=0\)

c) \(x^2-3x-7=0\)

d) \(3x-2x^2-8=0\)

e) \(90+x^2-3x=0\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Z podanych równań kwadratowych wyznacz deltę \(\Delta\)oraz jeśli istnieją \(x_1\) oraz \(x_2\).
a) \(x^2+3x-2=0\)

b) \(x^2+4x+4=0\)

c) \(2x^2-12x-6\frac{1}{2}=0\)

d) \(-x^2+x-8=0\)

e) \(x^2+8x-20=0\)      Zobacz rozwiązanie