Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Równania logarytmiczne

Rozwiązywanie równań logarytmicznych powinniśmy zacząć od wyznaczenia dziedziny, wynikającej z warunków logarytmów.

Dla      \( \log_{a}c\)
\(a>0\) i \(a\neq 1\) oraz \(c>0\)

Przykład wyznaczenia dziedziny w równaniu z logarytmem.

\(\log_{4} (x+5)+\log_{4}(4-2x)=1\)

Sprawdzamy miejsca, w których występuje \(x\), znajduje się on w liczbie logarytmowanej (powinna być ona większa od zera), więc wyznaczamy warunki:

\(x+5>0\)      i      \(4-2x>0\)
\(x>-5\)      i      \(-2x>-4\)
\(x>-5\)      i      \(x<2\)

Nasz \(x\) musi być większy niż \(-5\) i mniejszy od \(2\). Dziedzinę możemy zapisać:

\(x\: \epsilon \: (-5;2)\)

Gdy mamy wyznaczoną dziedzinę funkcji, przystępujemy do rozwiązywania. Przekształcamy równanie do postaci:

1) \(\log_{a} (dowolne \: wyrazy)=\log_{a} (inne \: dowolne \: wyrazy)\)

- inaczej \(\log_{a} (b)=\log_{a} (c)\)

2) \(\log_{a} (dowolne \: wyrazy)=inne \: dowolne \: wyrazy\)

- inaczej \(\log_{a} (c)=b\)

W pierwszym przypadku opuszczamy logarytm, w wyniku czego pozostają wyrażenia z logarytmu, najczęściej jest to zwykłe równanie lub równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

W drugim przypadku korzystamy z definicji i przekształcamy w następujący sposób:

\(\log_{a}c=b\Leftrightarrow a^b=c\)

A następnie obliczamy.

Na koniec, otrzymane wyniki sprawdzamy z dziedziną. Sprawdzamy, czy liczby, które wyliczyliśmy, należą do dziedziny. Jeśli nie należą, to odrzucamy je. Ilość rozwiązań nie jest określona, może to być - brak rozwiązania, jedno, dwa lub czterdzieści; analogicznie - ilość odrzuconych wyników.

Przykładowe zadania

Zad. 1) Rozwiąż równania z logarytmami:

a) \(\log_{3} x=2\)

b) \(\log_{5} x=3\)

c) \(\log_{2} (x+2)=3\)

d) \(\log_{2} (x^2+3x-8)=1\)

e) \(\log x=4 \)      Zobacz rozwiązanie 

Zad. 2) Rozwiąż równania z logarytmami:

a) \(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x+23)\)

b) \(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1\)

c) \(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)+\log_{\sqrt{2}} (x+2)=0\)      Zobacz rozwiązanie 

Zad. 3) Rozwiąż równania z logarytmami:

a) \(\log_{2} x+\log_{4} x+\log_{16} x =7\)

b) \(\log_{4} x+\log_{16} x+\log_{64} x =7\dfrac{1}{3}\)      Zobacz rozwiązanie