Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Rozwiązywanie równań kwadratowych wymaga znajomości rozwiązywania równań liniowych.
Liczbę rozwiązań równania kwadratowego określa się w zależności od wartości Δ (delta). Mając równanie kwadratowe w postaci \(ax^2+bx+c=0\), określa się wartość parametru Δ z wzoru:
\(\Delta=b^2-4ac\)
Pierwiastki (rozwiązania) równania w zależności od wartości delty (\(\Delta \):

- jeżeli Δ > 0, to równanie kwadratowa ma dwa miejsca zerowe:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

- jeżeli Δ = 0, to równanie kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce rozwiązanie:
\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)
- jeżeli Δ < 0, to równanie kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Schemat rozwiązywania równań kwadratowych.
- Pierwszą operacją jest przeniesienie na jedną stronę (najczęściej na lewą) wszystkich wyrażeń.
- Następnie przystępujemy do uproszczenia całego równania, czyli wymnożenia wszystkich możliwych elementów, dodania lub odjęcia wyrazów, aż do otrzymania postaci \(ax^2+bx+c=0\) gdzie \(a;b;c\) to dowolne liczby, np. \(2; \frac{1}{2}; 2\sqrt{5};\frac{3\sqrt{7}}{8}\).
- Następnie przystępujemy do obliczenia Δ. W zależności od wartości \(\Delta \) obliczamy miejsca zerowe \(x_1\) oraz \(x_2\).
Przykład
\(-2x^2=2(4x-5)\)

Zgodnie ze schematem, wszystkie elementy równania przenosimy na lewą stronę.

\(-2x^2-2(4x-5)=0\)

Następnie wymnażamy, dodajemy itd., aby otrzymać równanie w postaci \(ax^2+bx+c=0\)

\(-2x^2-8x+10=0\)

Z powyższego równania łatwo zauważyć, że współczynniki wynoszą:
\(a=-2\)

\(b=-8\)

\(c=10\)
Przystępujemy do wyznaczenia \(\Delta\).
\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=(-8)^2-4\cdot (-2)\cdot 10=64+80=144\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12\)

Delta jest większa od zera, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania, obliczamy je więc:
\(x_1=\frac{-(-8)-12}{2\cdot (-2)} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-8)+12}{2\cdot (-2)}\)

\(x_1=\frac{-4}{-4} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{20}{-4}\)

\(x_1=1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-5\)
Rozwiązaniem powyższego równania kwadratowego są dwie liczby \(1\) oraz \(-5\).

Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(x^2-3x-4=0\)

b) \(x^2-4=0\)

c) \(x^2-7x=0\)

d) \(5x^2+6x+1=0\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(6x^2+11x-35=0\)

b) \(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)

c) \(3x^2-10x+5=0\)

d) \(x^2+4x+5=0\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(x(x+2)=x^2-(x-1)^2\)

b) \((x-4)(x+4)+x^2=(x+3)^2\)

c) \((x-1)(2-x)=(3-2x)(x-2)+9\)

d) \((x-1)^2-(x+2)^2+(x-3)^2=6\)      Zobacz rozwiązanie