Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Rozwinięcie Laplace'a


Rozwiniecie Laplace'a stosujemy najczęściej, aby ułatwić obliczanie wyznacznika macierzy, najpierw wybieramy wiersz lub kolumnę w której jest najwięcej zer lub liczby są najłatwiejsze do zredukowania a następnie dodając wiersze lub kolumny do siebie tworzymy kolejne zera jak w przykładzie poniżej.

Załóżmy że chcemy obliczyć wyznacznik macierzy \(A\):

\(det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 4\\
3 & -3 & -6 & 6\\
1 & -2 & -3 & 4\\
3 & 5 & -1 & 2
\end{vmatrix} \)

Do znajdowania łatwego do uproszczenia wiersza lub kolumny trzeba trochę wprawy ale w tym przypadku polecam 2 wiersz. 

\(
det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 4\\
{\color{Red}3} & {\color{Red}-}{\color{Red}3} & {\color{Red}-}{\color{Red}6} & {\color{Red}6}\\
1 & -2 & -3 & 4\\
3 & 5 & -1 & 2
\end{vmatrix}
\)

Pierwszą kolumnę zostawiamy bez zmian, do drugiej kolumny dodajemy pierwszą kolumnę, do trzeciej kolumny dodajemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez 2, a do czwartej kolumny dodajemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez -2. W rezultacie otrzymujemy:

\(
det(A) =
\begin{vmatrix}
{\color{Red}1} & 2 +{\color{Red}1} & 5+{\color{Green}2}\cdot {\color{Red}1} & 4+({\color{cyan}-}{\color{cyan}2})\cdot {\color{Red}1}\\
{\color{Red}3} & -3+{\color{Red}3} & -6+{\color{Green}2}\cdot {\color{Red}3}& 6+({\color{cyan}-}{\color{cyan}2})\cdot {\color{Red}3}\\
{\color{Red}1} & -2+{\color{Red}1} & -3+{\color{Green}2}\cdot {\color{Red}1}& 4+({\color{cyan}-}{\color{cyan}2})\cdot {\color{Red}1}\\
{\color{Red}3} & 5+{\color{Red}3} & -1+{\color{Green}2}\cdot {\color{Red}3} & 2+({\color{cyan}-}{\color{cyan}2})\cdot {\color{Red}3}
\end{vmatrix} =
\)
więc:
\(det(A) =\begin{vmatrix}
1 &3 &7 & 2\\
3& 0 & 0 & 0\\
1 &-1 & -1 & 2\\
3& 8& 5 & -4
\end{vmatrix}\)

Teraz w 2 wierszu mamy tylko jedną liczbę niezerową (im więcej zer tym lepiej), co bardzo ułatwi nam dalsze liczenie.
Dopiero tak przygotowaną macierz warto potraktować rozwinięciem Laplace'a.
Następnie stosujemy rozwinięcie Laplace'a do 2 wiersza. W wierszu 2 mamy (jak i w każdym innym) 4 liczby, więc będziemy mieli 4 człony w naszym przykładzie. 

Pierwszy z nich powstał na podstawie:
\(det(A) = \begin{vmatrix}
1 &{\color{Green} 3} &{\color{Green}7} & {\color{Green}2} \\
{\color{Red} 3 } & 0 & 0 & 0\\
1 &{\color{Green}-}{\color{Green}1} & {\color{Green}-}{\color{Green}1} & {\color{Green}2}\\
3& {\color{Green}8}& {\color{Green}5} & {\color{Green}-}{\color{Green}4}
\end{vmatrix}\)

i wygląda:

\((-1)^{{\color{cyan}{2+1}}} \cdot {\color{Red} 3} \cdot  {\color{Green} { \begin{vmatrix}  3 & 7 & 2\\  -1 & -1 & 2\\  8 & 5 & -4  \end{vmatrix}}}

\)

\({\color{cyan}{2+1}}\) bo rozwijamy względem liczby \({\color{red}3}\) która jest w drugim \({\color{cyan}{2}}\) wierszu i pierwszej \({\color{cyan}{1}}\) kolumnie naszego wyznacznika.

Drugi człon powstaje na podstawie:

\( det(A)=\begin{vmatrix}
{\color{Green}1} & 3 &{\color{Green}7} & {\color{Green}2} \\
3 & {\color{Red}0} & 0 & 0\\
{\color{Green}1} &-1 & {\color{Green}-}{\color{Green}1} & {\color{Green}2}\\
{\color{Green}3}& 8& {\color{Green}5} & {\color{Green}-}{\color{Green}4}
\end{vmatrix}\)

i wygląda:

\((-1)^{{\color{cyan}{2+2}}} \cdot {\color{Red} 0} \cdot {\color{Green}
{ \begin{vmatrix}
1 & 7 & 2\\
1 & -1 & 2\\
3 & 5 & -4
\end{vmatrix}}}
\)

\({\color{cyan}{2+2}}\) bo rozwijamy względem liczby \({\color{red}0}\) która jest w drugim \({\color{cyan}{2}}\) wierszu i drugiej \({\color{cyan}{2}}\) kolumnie naszego wyznacznika, warto zauważyć że będziemy mnożyć przez \({\color{red}0}\), jak wiadomo mnożenie razy zero daje zawsze zero, czyli cały ten człon będzie równy zero.

Trzeci i czwarty człon będą wyglądały:

 \((-1)^{{\color{cyan}{2+3}}} \cdot {\color{Red} 0} \cdot {\color{Green}
{ \begin{vmatrix}
1 & 3 & 2\\
1 & -1 & 2\\
3 & 8 & -4
\end{vmatrix}}}
+
(-1)^{{\color{cyan}{2+4}}} \cdot {\color{Red} 0} \cdot {\color{Green}
{ \begin{vmatrix}
1 & 3 & 7\\
1 & -1 & -1\\
3 & 8 & 5
\end{vmatrix}}}
\)

Podobnie jak człon drugi będą one równe zero.
Podsumowując - mając wyznacznik macierzy \(A\) upraszczamy go do postaci z jak największa liczbą zer w którejkolwiek kolumnie lub wierszu i rozkładamy za pomocą twierdzenia Laplace'a: 

\(det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 4\\
3 & -3 & -6 & 6\\
1 & -2 & -3 & 4\\
3 & 5 & -1 & 2
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 &3 &7 & 2\\
3& 0 & 0 & 0\\
1 &-1 & -1 & 2\\
3& 8& 5 & -4
\end{vmatrix} = 
\)


\(
(-1)^{2+1} \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 7 & 2\\ -1 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -4 \end{vmatrix}
+
(-1)^{2+2} \cdot {\color{Red} 0} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 7 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 3 & 5 & -4 \end{vmatrix}

(-1)^{2+3} \cdot {\color{Red} 0} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 3 & 8 & -4 \end{vmatrix}
+
(-1)^{2+4} \cdot {\color{Red} 0} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 7\\ 1 & -1 & -1\\ 3 & 8 & 5 \end{vmatrix}
\)


Wyrazy z zerem po wymnożeniu dają zero więc nasz wyznacznik macierzy to

\(det(A) = (-1)^{2+1} \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 7 & 2\\ -1 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -4 \end{vmatrix} \)
czyli:
 \(det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 4\\
3 & -3 & -6 & 6\\
1 & -2 & -3 & 4\\
3 & 5 & -1 & 2
\end{vmatrix} = - 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 7 & 2\\ -1 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -4 \end{vmatrix}\)

Operację tą można powtórzyć zmniejszając rozmiar wyznacznika do 2 na 2. Rozwinięcie Laplace'a zawsze zmniejsza rozmiar wyznacznika o jeden.

Teoria

Dla każdej macierzy \(A\) o wymiarach \(n \times n\) wyznacznik \(\text{det}A\) spełnia regułę zwaną rozwinięciem Laplace'a. Wyznacznik macierzy \(A\) jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne. Rozwinięcie Laplace'a pozwala obliczyć wyznacznik macierzy unikając korzystania z bardzo czasochłonnej metody opartej na definicji wyznacznika.

Wzór na wyznacznik metodą rozwinięcia Laplace’a ma postać:

Rozwinięcie względem \(i\)-tego wiersza
\(\text{det}A= a_{i1} A_{i1}+ a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum\limits_{l=1}^{n} a_{il} A_{il}= \sum\limits_{l=1}^{n} (-1)^{i+l} a_{il}M_{il}\),  \(i=1,2,...,n\)

Rozwinięcie względem \(j\)-tej kolumny
\(\text{det}A= a_{1j} A_{1j}+ a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj} = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{kj} A_{kj}= \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+j} a_{kj}M_{kj}\),  \(j=1,2,...,n\)

Wzór w postaci ogólnej można zapisać następująco:

\( \text{det}A = \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}A{ij}\)

Wyjaśnienie symoli:

\(i\) - jest to numer wiersza względem którego rozwijamy dany wyznacznik

\(a_{ij}\) - element macierzy w \(i\)-tym wierszu i \(j\)-tej kolumnie

\(A_{ij}\) - to dopełnienie algebraiczne elementu
\(a_{ij}\)(powstałe z przemnożenia czynnika \((-1)^{1+j}\) przez minor elementu \(a_{ij}\))

Aby wyznaczyć wartość wyznacznika \(W\), należy wybrać dowolną linie (wiersz lub kolumnę) w danym wyznaczniku, każdy element tej linii pomnożyć przez jego dopełnienie, a następnie otrzymane iloczyny do siebie dodać.

Przykład:

Stosując rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza obliczamy wartość następującego wyznacznika:
\(W = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}  & a_{23} \\ a_{31} & a_{32}  & a_{33}\end{bmatrix}\)

\(W = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22}  & a_{23} \\ a_{31} & a_{32}  & a_{33}\end{bmatrix}= a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}=\)

\(= (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} + (-1)^{1+3} a_{13}M_{13} =\)

\(=a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+ a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}=\)

\(=a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})\)

Przykładowe zadania

Zad. 1) Oblicz wyznacznik macierzy, wykorzystując rozwinięcie Laplace’a.
\(A=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 3\\
1 & 0 & -4 & 5\\
5 & 2 & 0 & 2\\
1 & -5 & -2& 1
\end{bmatrix}\)      Sprawdź rozwiązanie


Zad. 2) Oblicz wyznacznik macierzy, wykorzystując rozwinięcie Laplace’a.
\(B=\begin{bmatrix}
0 & 5 & 5 & -2\\
-1& 1 & -4 & -3\\
0 & -2 & 1 & 4\\
3 & 0 & -5 & 0
\end{bmatrix}\)      Sprawdź rozwiązanie

\(a_{ij}\)