Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Rząd macierzy


Chcąc obliczyć rząd macierzy musimy znaleźć największą macierz, której wyznacznik jest różny od zera, wielkość tej niezerowej macierzy będzie szukaną wartością, czyli jeśli największą macierzą, której wyznacznik jest różny od zera jest macierz 3x3 to rząd macierzy jest równy 3. 

Teoria

Macierz \(A\) jest rzędu \(r\), jeżeli istnieje chociaż jeden różny od zera wyznacznik stopnia \(r\) utworzony z elementów tej macierzy (przy czym elementy bierze się w tej kolejności, w jakiej są one rozmieszczone w danej macierzy), a wszystkie wyznaczniki tej macierzy stopnia wyższego niż \(r\) mają wartość zero.
Rząd macierzy oznaczany jest jako \(r\), \(R\) oraz \(\text{rz}\).

Własności rzędu macierzy:

  • rząd macierzy jest równy zero tylko dla macierzy zerowej,

  rząd macierzy jednostkowej stopnia \(n\) jest równy \(n\),

  rząd macierzy \(A^T\) jest równy rzędowi macierzy \(A\),

  rząd macierzy nie może przekraczać żadnego z wymiarów macierzy,

  jeśli macierz kwadratowa jest nieosobliwa to jej rząd jest równy stopniowi tej macierzy,

  • jeśli dowolny wiersz (kolumnę) macierzy pomnożymy przez stałą różną od zera i dodamy do innego wiersza
    (kolumny) to rząd macierzy nie ulegnie zmianie,

  jeśli zamienimy dwa wiersze (kolumny) między sobą miejscami to rząd macierzy nie ulegnie zmianie,

  jeśli wykreślimy wiersz (kolumnę) złożony z samych zer to rząd nie ulegnie zmianie.



Dla przykładu mając macierz 4x4 i chcąc obliczyć jej rząd, najpierw musimy obliczyć jej wyznacznik i teraz:

  - jeśli wynikiem jest liczba inna niż zero to kończymy - rząd takiej macierzy wynosi 4 (bo wyznacznik macierzy 4x4 jest różny od zera)
  - jeśli wyjdzie nam zero to wybieramy po kolei wszystkie macierze 3x3 (wykreślając którąś kolumnę i wiersz) i liczymy ich wyznacznik
    - jeśli wynikiem jest liczba inna niż zero to kończymy - rząd takiej macierzy wynosi 3 (bo wyznacznik macierzy 3x3 jest różny od zera)
    - jeśli wyjdzie nam zero to wybieramy po kolei wszystkie macierze 2x2 (wykreślając którąś kolumnę i wiersz) i liczymy ich wyznacznik
        - jeśli wynikiem jest liczba inna niż zero to kończymy - rząd takiej macierzy wynosi 2 (bo wyznacznik macierzy 2x2 jest różny od zera)
        - jeśli wyjdzie nam zero to wybieramy po kolei wszystkie macierze 1x1 czyli szukamy czy którakolwiek liczba w naszej macierzy jest inna niż zero
            - jeśli którakolwiek z liczb jest inna niż zero to rząd macierzy wynosi 1
            - jeśli wszystkie liczby w naszej macierzy są zerami to rząd naszej macierzy wynosi 0

Przykład:

Nasza macierz \(A\) to

\(A= \begin{bmatrix}
2& 8 & 3 & -4\\
1& 4 & 1 & -2\\
5 & 20 & 0 & -10\\
-3& -12 & -2 & 6
\end{bmatrix}\)

Aby odliczyć rząd macierzy zaczynamy od obliczenia wyznacznika największej macierzy czyli w tym przypadku 4x4

\(det(A)= \begin{vmatrix}
2& 8 & 3 & -4\\
1& 4 & 1 & -2\\
5 & 20 & 0 & -10\\
-3& -12 & -2 & 6
\end{vmatrix}=0\)

Jeśli nie wiesz jak obliczyć polecam sprawdzić rozwinięcie Laplace'a lub wyznacznik macierzy, ewentualnie podstawić do wzoru wyznacznika macierzy 4x4  jednak tutaj bardzo często robi się dużo błędów i pomyłek.
Następnie obliczamy macierze 3x3 do momentu aż wyjdzie nam liczba różna od zera. Z macierzy 4x4 można utworzyć 16 macierzy 3x3 w następujące sposób:
- pierwsza przez skreślenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny:

\(\begin{bmatrix}
{\color{DarkRed}2}& {\color{DarkRed}8} & {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-4}}\\
{\color{DarkRed}1}& 4 & 1 & -2\\
{\color{DarkRed}5} & 20 & 0 & -10\\
{\color{DarkRed}{-3}}& -12 & -2 & 6
\end{bmatrix}\) czyli \(\begin{bmatrix}
4 & 1 & -2\\
20 & 0 & -10\\
-12 & -2 & 6
\end{bmatrix}\)

- druga - przez skreślenie pierwszego wiersza i drugiej kolumny:

\(\begin{bmatrix}
{\color{DarkRed}2}& {\color{DarkRed}8} & {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-4}}\\
1& {\color{DarkRed}4} & 1 & -2\\
5 & {\color{DarkRed}{20}} & 0 & -10\\
-3& {\color{DarkRed}{-12}} & -2 & 6
\end{bmatrix}\) czyli \(\begin{bmatrix}
1& 1 & -2\\
5 & 0 & -10\\
-3& -2 & 6
\end{bmatrix}\)

\( \vdots \)

- jedenasta - przez skreślenie trzeciego wiersza i trzeciej kolumny:

\(\begin{bmatrix}
2& 8 & {\color{DarkRed}3} & -4\\
1& 4 & {\color{DarkRed}1} & -2\\
{\color{DarkRed}5} & {\color{DarkRed}{20}} & {\color{DarkRed}0} & {\color{DarkRed}{-10}}\\
-3& -12 & {\color{DarkRed}{-2}} & 6
\end{bmatrix} \) czyli \(\begin{bmatrix}
2 & 8 & -4\\
1 & 4 & -2\\
-3 & -12 & 6
\end{bmatrix}\)

i tak aż do 16 w tym przypadku, proszę pamiętać, że jak któraś z nich wyjdzie różna od zera to koniec obliczeń, wystarczy że obliczając wyznacznik macierzy pierwszej 3x3 wyjdzie nam liczba różna od zera - wtedy automatycznie możemy powiedzieć, że rząd macierzy wynosi 3. Wzór na obliczanie wyznacznika macierzy 3x3 jeśli ktoś szuka. Jednak w tym przypadku wszystkie 16 wyznaczników macierzy jest równe zero, więc wybieramy kolejne macierze tym razem 2x2, czyli wykreślamy po dwa wiersze i po dwie kolumny (będzie ich kilka):

- pierwsza - wykreślamy pierwszy i drugi wiersz oraz pierwszą i drugą kolumnę:

\(\begin{bmatrix}
{\color{DarkRed}2}& {\color{DarkRed}8} & {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-4}}\\
{\color{DarkRed}1}& {\color{DarkRed}4} & {\color{DarkRed}1} & {\color{DarkRed}{-2}}\\
{\color{DarkRed}5} & {\color{DarkRed}{20}} & 0 & -10\\
{\color{DarkRed}{-3}}& {\color{DarkRed}{-12}} & -2 & 6
\end{bmatrix} \) czyli \(\begin{bmatrix}
0 & -10 \\
-2 & 6
\end{bmatrix}\)

tym razem wyznacznik macierzy wynosi:

\(det(A)=

\begin{vmatrix}
0 & -10 \\
-2 & 6
\end{vmatrix}=0 \cdot 6 -(-10) \cdot (-2) = 0-20=-20\)

wyznacznik naszej macierzy wyniósł -20 czyli nie zero, więc rząd naszej macierzy \(A\) wynosi \(r(A)=2\)


Rząd poniższych macierzy wynosi:

a) \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}\)

Rząd \(r(A) = 2\), ponieważ \(\begin{vmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{vmatrix} \neq 0\)


b) \(B= \begin{bmatrix}\: \: \: 1 & 3 & 5 & 1\\ -1 & 2 & 0 & 1 \\\: \: \: 2 & 2 & 5 & 6\end{bmatrix}\)

Rząd macierzy \(r(B) = 3\), ponieważ \(\begin{vmatrix}\: \:  1 & 3 & 5\\ -1 & 2 & 0\\ \: \:   2 & 2 & 5\end{vmatrix} \neq 0\)


c) \(C = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 10\\ 2 & 4 & 3 & 9\\3 & 6 & 9 & 30\end{bmatrix}\)

W macierzy \(C\) od wiersza trzeciego odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3.

\(r(C) = r\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 10\\ 2 & 4 & 3 & 9\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)

\(r(C) = 2\), ponieważ \(\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & 3 \end{vmatrix} \neq 0\)