Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Ślad macierzy

Ślad macierzy jest to suma elementów leżących na przekątnej danej macierzy.

Przykład:

Mając macierz \(A =\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & -4\\
-3 & 4 & -6 & 12\\
-9 & 2 & -1 & 3\\
5 & 0 & 2 & 1
\end{bmatrix} \)

obliczamy ślad macierzy w sposób następujący:

\(tr(A) =tr\begin{bmatrix}
{\color{red}1} & 2 & 4 & -4\\
-3 & {\color{red}4} & -6 & 12\\
-9 & 2 & {\color{red}{-1}} & 3\\
5 & 0 & 2 & {\color{red}1}
\end{bmatrix} = 1+4+(-1)+1=5\)

Teoria


Ślad macierzy definiujemy tylko dla macierzy kwadratowej. Ślad macierzy kwadratowej \(A =[a_{ij}]\) stopnia \(n\) jest sumą elementów leżących na głównej przekątnej (diagonali). Ślad macierzy oznaczamy \(Tr(A)\), \(TrA\) oraz \(\text{trace}(A)\).

\(Tr(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + ... + \: a_{nn}\)

Własności śladu macierzy:

 •
jeśli macierze \(A = a_{ij}\) i \(B = b_{ij}\) są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia to:

     \(Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)\)
,

 • jeśli macierz \(A= a_{ij}\) jest macierzą kwadratową, a \(\alpha\) jest liczbą rzeczywistą to:

     \(Tr(\alpha A) = \alpha Tr (A)\),

 •
jeśli \(A \in M_{n}\) a \(B \in M_{n}\) to:

    \(Tr(AB) = Tr(BA)\)
,

 • jeśli \(A \in M_{n}\),  \(B \in M_{n}\) i \(C \in M_{n}\) (cykliczna przemienność śladu) to :

     \(Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA)\)

 • przekątna główna macierzy nie ulegnie zmianie przy transpozycji:

   
\(Tr(A) = Tr(A^T)\).


cykliczna przemienność śladu