Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Twierdzenie Cramera


Twierdzenie Cramera używamy do rozwiązywania układów równań liniowych. Jednak można je stosować tylko i wyłącznie do równań w których ilość niewiadomych jest równa ilości równań. Metodą łatwiejszą przy rozwiązywaniu dużych układów równań jest eliminacja Gaussa lub metoda Gaussa-Jordana, jeszcze innym sposobem rozwiązania układu jest zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązywania układów równań.

Główne zasady w twierdzeniu Cramera to:

 - jeśli wyznacznik główny jest różny od zera \(W \neq 0\) to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie,

 - jeśli wyznacznik główny i wszystkie wyznaczniki szczególne są równe zero \( W=  0 \), \(W_x = 0\), \(W_y =0\), ..., \(W_w=0\), to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań,

 - jeśli wyznacznik główny jest równy zero, a któryś (przynajmniej jeden) z wyznaczników szczególnych jest różny od zera, to układ jest sprzeczny.


Mając dany układ \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi \(x_1, x_2, \: ..., \: x_n\):

\(\begin{cases} a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y \: \: + ... + \: \: a_{1n} \cdot w = \: b_1 \\ a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y \: \: + ... + \: \: a_{2n} \cdot w = \: b_2 \\ \: \: \: \: \: \vdots \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:  \vdots \: \: \: \: \: \:  \ddots \: \: \: \: \: \:  \: \: \vdots \: \:  \: \: \: \: \: \: \: \vdots\\ a_{n1} \cdot x + a_{n2} \cdot y \: + ... + \: a_{nn} \cdot  w = b_n\end{cases}\)

Wyjaśnienie symboli:

\(a_{11},  \: ... ,\:  a_{n}\) - współczynniki równania

\(b_1, ... , \: b_n\) - wyrazy wolne

\(x, y, ..., \: w\) - niewiadome równania

Oznaczamy przez \(W\) tzw. wyznacznik główny macierzy:

\(W = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ...  & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}  & ...  & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \: \ddots & \vdots \\  a_{n1} & a_{n2} &  ... & a_{nn}\end{vmatrix}\),


przez \(W_x,\:\:W_y,\:\:W_z,\:\:\:...,\:\:\: W_w\) wyznaczniki powstałe z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim \(k\)-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

wyznaczniki szczegołowe wyznaczamy w sposób:

\(W_x = \begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
b_2 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
b_3 & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_n & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)


\(W_y = \begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & b_2 & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & b_3 & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & b_n & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)


\(W_z = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & b_2 & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & b_3 & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)

\( \vdots\)

\(W_w = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & b_1\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & b_2\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & b_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & b_n
\end{vmatrix}\)


Jeżeli wyznacznik \(W \neq 0\), to powyższy układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie potaci:


 \( \left\{\begin{matrix}
x= \dfrac{W_{x}}{W}\\
\\
y= \dfrac{W_{y}}{W}\\ \\
z= \dfrac{W_{z}}{W}\\
\vdots \\
w= \dfrac{W_{w}}{W}
\end{matrix}\right.\)

Jeśli w powyższym układzie równań mamy \(b_1 = b_2 = \: ... \: = b_n = 0\), to otrzymujemy tzw. układ równań liniowych jednorodnych z \(n\) niewiadomymi. Układ ten posiada zawsze rozwiązania zerowe.

Przykład:

Aby rozwiązać poniższy układ równań:

\(\begin{cases} 2x - y - z =4\\ 3x + 4y - 2z = 11\\ 3x - 2y + 4z = 11\end{cases}\)

najpierw musimy obliczyć wartość wyznacznika głównego w następujący sposób:

\(\begin{cases} {\color{DarkRed}2}x {\color{DarkRed}{-1}} y {\color{DarkRed}{-1}} z = {\color{blue}4}\\ {\color{DarkRed}3}x + {\color{DarkRed}4}y {\color{DarkRed}{- 2}}z = {\color{blue}{11}}\\ {\color{DarkRed}3}x {\color{DarkRed}{- 2}}y + {\color{DarkRed}4}z = {\color{blue}{11}}\end{cases}\)

Najpierw od drugiej kolumny odjęto kolumnę trzecią, a następnie do drugiego wiersza dodano trzeci wiersz, następnie wyznacznik główny w tym przypadku obliczymy stosując rozwinięcie Laplace'a:

\(W = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{DarkRed}{-1}} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{DarkRed}3} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{DarkRed}{-2}} \\ {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-2}} & \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 & \: \: \: 0 & -1\\ 3 & \: \: \: 6 & -2\\ 3 & -6 & \: \: \: 4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 & \: \: \: 0 & -1\\ 6 & \: \: 0 & \: \: 2\\ 3 & -6 & \: \: \: 4\end{vmatrix}\)

\(W= (-1)^{3+2} (-6) \begin{vmatrix}2 &  -1\\ 6 & \: \:    \: \: 2\end{vmatrix} = 60\)


 Analogicznie można obliczyć pozostałe znaczniki:

\(W_x = \begin{vmatrix}{\color{blue}4} & {\color{DarkRed}{-1}} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{blue}{11}} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{DarkRed}{-2}}\\ {\color{blue}{11}} & {\color{DarkRed}{-2}} & \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = 180\) ,\(W_y = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{blue}4} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{DarkRed}3} & {\color{blue}{11}} & {\color{DarkRed}{-2}}\\ {\color{DarkRed}2} & {\color{blue}{11}} & \: \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = 60 \)

\(W_z = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{DarkRed}{-1}} & \: {\color{blue}4}\\ {\color{DarkRed}3} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{blue}{11}}\\ {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-2}} & {\color{blue}{11}}\end{vmatrix} = 60\)

Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy:

\(x = \dfrac{W_x}{W} = 3, \: \: y=\dfrac{W_y}{W} = 1, \: \: z =\dfrac{W_z}{W} =1\)