Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera-Capellego służy do oceniania ilości rozwiązań układu równań, tzn. że odpowie nam na pytanie, czy w danym układzie równań jest jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele lub brak rozwiązań. Twierdzenie to nie poda nam rozwiązania, aby rozwiązać układ równań możemy skorzystać np. z twierdzenia Cramera. To co jest wręcz piękne w twierdzeniu Kroneckera-Capellego to to że ilość niewiadomych nie musi być równa liczbie równań, możemy mieć trzy równania z dwiema lub pięcioma niewiadomymi, i będziemy w stanie ustalić czy taki układ ma rozwiązanie.

Dany jest układ \(m\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi:

\(\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \: \: + ... + \: \: a_{1n} x_{n} = \: b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \: \: + ... + \: \: a_{2n} x_n = \: b_2 \\ \: \: \: \: \: \vdots \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:  \vdots \: \: \: \: \: \:  \ddots \: \: \: \: \: \:  \: \: \vdots \: \:  \: \: \: \: \: \: \: \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 \: + ... + \: a_{mn} x_n = b_m\end{cases}\)

Wyjaśnienie symboli:

\(a_{11},  \: ... ,\:  a_{mn}\) - współczynniki równania

\(b_1, ... , \: b_m\) - wyrazy wolne

\(x_1, ..., \: x_n\) - niewiadome równania

Oznaczamy przez \(A\) macierz główną układu

\(A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2}  & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}\)

oraz przez \(U\) macierz uzupełnioną (rozszerzoną)

\(U = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\\vdots & \vdots  & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2}  & \cdots & a_{mn} & b_m\end{bmatrix}\)


Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capellego, możemy ocenić liczbę rozwiązań układu równań. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby powyższy układ miał rozwiązanie jest równość rzędów macierzy głównej \(A\) i macierzy uzupełnionej \(U\) czyli: \(r(A) = r(U)\).

Jeśli \(r(A) = r(U) = n\), gdzie \(n\) jest liczba niewiadomych, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i nazywa się układem niezależnym (oznaczonym). Jeśli rząd macierzy jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i równy ilości niewiadmoych, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i nazywa się układem niezależnym (oznaczonym).

Jeśli \(r(A) = r(U) = r < n\), to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(n - r\) parametrów i nazywa się układem zależnym (nieoznaczonym). Jeśli rząd macierzy jest równy rządowi macierzy uzupełnionej oraz są one mniejsze od liczby niewiadomych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(n - r\) parametrów i nazywa się układem zależnym (nieoznaczonym).

Jeśli \(r(A) \neq r(U)\), to układ nie ma rozwiązań i nazywa się układem sprzecznym. Jeśli rząd macierzy jest rózny od rzędu macierzy uzupełnionej, to układ nie ma rozwiązań i nazywa się układem sprzecznym. 

Przykład:

Mając poniższy układ równań, na poczatku jesteśmy w stanie stwierdzić, że ilość naszych niewiadomych to \(n=3\), niewiadome to \(x,y,z\).Aby określić liczbę rozwiązań układu równań:

\(\begin{cases} x - 2y + 3z =1 \\ 2x - 4y + 6z = 2 \\ 3x - 6y + 9z =3 \end{cases}\)

na podstawie zaznaczonych elementów tworzymy macierze i obliczamy ich wyznacznik

\(\begin{cases} {\color{red}1} x {\color{red}{- 2}}y + {\color{red}3}z = {\color{green}1} \\ {\color{red}2}x {\color{red}{- 4}}y + {\color{red}6}z = {\color{green}2} \\ {\color{red}3}x {\color{red}{- 6}}y + {\color{red}9}z = {\color{green}3} \end{cases}\)

Macierze główna i uzupełniona mają postać:

\(A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\ 2 & -4 & 6\\ 3 & -6 & 9\end{bmatrix}\), \(U = \begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & 1\\ 2 & -4 & 6 & 2\\ 3 & -6 & 9 & 3\end{bmatrix}\)

Najpierw wyznacznik główny układu (jeśli potrzeba to wzór na obliczanie wyznacznika macierzy 3x3):

\(W = \begin{vmatrix}1 & -2 & 3\\ 2 & -4 & 6\\ 3 & -6 & 9\end{vmatrix} =0\)

Jeśli wyznacznik macierzy głównej jest równy zero, to w następnej kolejności obliczamy wszystkie macierze 2x2, utworzone przez skreślenie dowolnej kolumny i dowolnego wiersza (w macierzy 3x3 jest ich dziewięć). Jednak licząc wyznaczniki macierzy 2x2 w tym przypadku otrzymamy same zera. Więc licząc dalej rząd macierzy ustalamy na 1, czyli \(r(A)=1\), podobnie bedzie przy wyznaczaniu rzędu macierzy uzupełnionej \(U\). W naszym przypadku warto jednak najpierw zauważyć, że zarówno w macierzy \(A\) jak i w \(U\) wiersz pierwszy pomnożony razy dwa daje wiersz drugi, a pierwszy pomnożony przez trzy daje wiersz trzeci, więc możemy uniknąć długich obliczeń wykonując następująca operację.
W obu macierzach ( \(A\) i \(U\) ) od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez 3, a od drugiego wiersza odejmujemy także wiersz pierwszy pomnożony przez 2.

Otrzymujemy:

\(\begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\ 0 &  \: \:  0 & 0\\0 & \: \:   0 & 0\end{bmatrix}\) oraz \(\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & 1\\ 0 &  \: \: 0 & 0 & 0\\ 0 & \: \:  0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)

W takiej  sytuacji rząd macierzy w pierszym i drugim przypadku jest zawsze 1. 

\(r(A)=1\)

\(r(U)=1\)

Zatem:

\(r(A) = r(U) = 1 < n=3\)

Badany układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów.