Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Układy równań oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne.

Układy równań ze względu na ilość rozwiązań dzielimy na:

Układy równań oznaczone – posiadające jedno rozwiązanie, np.:

\(\left\{\begin{matrix}
x=3\\
y=5
\end{matrix}\right.
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
x-6=7\\
y+4=5
\end{matrix}\right.
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
x+2y=3\\
2x-y=1
\end{matrix}\right.\)

Interpretacją graficzną takiego układu są dwie proste przecinające się w jednym punkcie. Są to układy równań, których rozwiązaniem jest tylko jedna para liczb. Istnieją układy równań (np. z funkcją kwadratową), które mają dokładnie dwa lub trzy rozwiązania. Traktuje się je również, jako układy równań oznaczone, ponieważ mają określona skończoną liczbę rozwiązań.

Układy równań nieoznaczone – posiadają nieskończenie wiele rozwiązań, np.:
\(\left\{\begin{matrix}
x=x\\
y=y
\end{matrix}\right.
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
x-y=7\\
x-y=7
\end{matrix}\right.
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
x+2y=3\\
2x+4y=6
\end{matrix}\right.\)

Interpretacją geometryczną równań nieoznaczonych są dwie proste będące na siebie nałożone, posiadające nieskończenie wiele punktów wspólnych. Są to układy równań, które posiadają nieograniczoną liczbę rozwiązań. Wśród nich można wyróżnić równania z parametrem. Są to układy drugi i trzeci powyżej. Mówi się wtedy, że układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań w zależności od parametru (parametrem może być zarówno \(x\) oraz \(y\)).

Układy równań sprzeczne – nie posiada rozwiązania, np.:
\(\left\{\begin{matrix}
x+y=2\\
x+y=5
\end{matrix}\right.
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
x+2y=3\\
x+2y=7
\end{matrix}\right.
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
x=x+1\\
y=y-2
\end{matrix}\right.\)

Interpretacją geometrycznych takich równań są dwie proste równoległe do siebie, nieposiadające żadnych punktów wspólnych. Są to układy równań, które nie posiadają żadnego rozwiązania. Wzajemnie się wykluczają, jak w przykładzie powyżej, raz \(x+y\) daje 2 a raz 5, nie jest to możliwe, żeby dwie liczby dodane do siebie dawały różne wyniki.

Aby sprawdzić, jakiego typu jest podany układ równań najłatwiej jest zacząć go rozwiązywać metodą przeciwnych współczynników.

W artykule o rozwiązywaniu układów równań metodą wyznaczników bardzo jasno jest przedstawione, wstawiamy do wzoru i w zależności od otrzymanego wyniku wiemy, kiedy mamy dany typ równania.

Przykładowe zadania

Zad. 1) Rozwiąż układ równań:
\(\left\{\begin{matrix}
x+2y=7\\
x+2y=2
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Rozwiąż układ równań:
\(\left\{\begin{matrix}
x+y=2\\
2x+2y=4
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Rozwiąż układ równań:
\(\left\{\begin{matrix}
3x+4y=7\\
9x+12y=7
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Rozwiąż metodą graficzną, wskaż typ układu równań (oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny):
\( \left\{\begin{matrix}
2x+y=7\\
4x+2y=10
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Rozwiąż metodą graficzną, wskaż typ układu równań (oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny):
\( \left\{\begin{matrix}
-6x+3y=9\\
-8x+4y=12
\end{matrix}\right.\)      Zobacz rozwiązanie