Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykres każdej funkcji kwadratowej nazywany jest parabolą. Każda parabola składa się z dwóch ramion. Jeżeli funkcja w postaci \(f(x)=ax^2+bx+c\) posiada współczynnik \(a>0\) większy od zera, to ramiona paraboli skierowane są do góry, np.:

Funkcja kwadratowa

Jeżeli funkcja posiada współczynnik \(a<0\) mniejszy od zera, to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi, np.:

Funkcja kwadratowa

Każda parabola posiada swój wierzchołek, jest to punkt najdalej wysunięty. Wierzchołek jest również miejscem, w którym funkcja kwadratowa zmienia się z rosnącej na malejącą lub z malejącej na rosnącą.

Współrzędne wierzchołka paraboli to \(W=(p;q)\), dla funkcji kwadratowej w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\) to:

\(p=-\frac{b}{2a}\)

\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to:

\(f(x)=a(x-p)^2+q\)

W łatwy sposób możemy z niej odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.

Przykład

\(f(x)=(x-{\color{Green}{2}})^2+{\color{Green} {5}}\)

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \((2;5)\).

Własności funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\):

1) Dziedzina – wszystkie liczby rzeczywiste - \(D_f=R\)

2) Zbiór wartości

– dla \(a>0\) - \(ZW=\left \langle -\frac{\Delta}{4a};+\infty \right )\)

– dla \(a<0\) - \(ZW=\left ( -\infty;-\frac{\Delta}{4a} \right \rangle\)

3) Miejsca zerowe z zależności od Δ

- dla \(\Delta>0\) – dwa miejsca zerowe \(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\),

- dla \(\Delta=0\) – jedno miejsce zerowe \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\),

- dla \(\Delta<0\) – brak miejsc zerowych,

4) punkt przecięcia z osią OY to \((0;c)\)

5) monotoniczność w zależności od parametru \(a\):

- dla \(a>0\) - funkcja rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)

- dla \(a<0\) - funkcja maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)

6) Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(p;q)\) gdzie:

\(p=-\frac{b}{2a}\)

\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)

7) Funkcja nie jest różnowartościowa

Są to uniwersalne dane dla każdej funkcji kwadratowej, określenie wartości dodatnich i ujemnych, parzystości, etc., rozpatruje się na konkretnych przypadkach, ponieważ opisanie ich w postaci uniwersalnej byłoby dość skomplikowane.

Przykładowe zadania
Zad. 1) Czy podana funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane w górę czy w dół, podaj miejsce przecięcia z osią OY
a) \(f(x)=x^2-8x+12\)

b) \(f(x)=-x^2+5x-4\)

c) \(f(x)=x^2-2x\)

d) \(f(x)=x^2\)

e) \(f(x)=x^2+6x+10\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Podaj współrzędne wierzchołka paraboli:
a) \( f(x)=x^2+3x-2\)

b) \( f(x)=x^2+4x+4\)

c) \( f(x)=2x^2-12x-6\)

d) \( f(x)=-x^2+x-8\)

e) \(f(x)=x^2+8x-15\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Zbadaj monotoniczność funkcji kwadratowej.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)

b) \(f(x)=5x^2-2=\)

c) \(f(x)=x^2-3x-7\)

d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)

e) \(f(x)=90+x^2-3x\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Oblicz zbiór wartości funkcji kwadratowej:
a) \(f(x)=x^2+3x-2\)

b) \(f(x)=x^2+4x+4\)

c) \(f(x)=2x^2-12x-6\)

d) \(f(x)=-x^2+x-8\)

e) \( f(x)=x^2+8x-15\)      Zobacz rozwiązanie