Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wyprowadzenie wzoru na deltę i x1 x2

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego wymaga znajomości rozwiązywania równań oraz wzoru skróconego mnożenia:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Wyprowadzenie zaczynamy od postaci ogólnej równania kwadratowego:

\(ax^2+bx+c=0\)

Wyprowadzenie będzie polegało po prostu na wyliczeniu niewiadomej \(x\) z równania. Najpierw lewa stronę równania doprowadzimy do postaci \(x^2+2xb+b^2\), aby móc zamienić to wyrażenie z wzoru skróconego mnożenia na \((x+b)^2\).

\(ax^2+bx+c=0\)

Przenosimy wyraz \(c\) na drugą stronę, oraz całe równanie dzielimy przez \(a\).

\(ax^2+bx=-c \:\: / :a\)

\(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)

Do całego równania (lewej i prawej strony) dodamy wyraz \(\frac{b^2}{4a^2}\), aby doprowadzić do postaci wzoru skróconego mnożenia.

\( x^2 + \frac{b}{a}x= -\frac{c}{a} \:\: / + \frac{b^2}{4a^2}\)

\( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}= -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\)

Teraz lewa strona równania jest częścią wzoru skróconego mnożenia w postaci \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Więc zwijamy ten wzór.

\( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\)

\( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{-4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\)

\( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{ b^2-4ac }{4a^2}\)

Następnie pierwiastkujemy lewą I prawą stronę równania.

\( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{ b^2-4ac }{4a^2} \:\: / \sqrt{\:} \)

\( x+\frac{b}{2a} =\pm \sqrt{\frac{ b^2-4ac }{4a^2}}\)

\( x+\frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac }}{\sqrt{4a^2}}\)

\( x+\frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac }}{2a}\)

\(x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac }}{2a}\)

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^2-4ac }}{2a}\)

Można zapisać w postaci:

\(x_1=\frac{-b + \sqrt{-4ac+b^2}}{2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b - \sqrt{ b^2-4ac }}{2a}\)

Łatwo zauważyć, że delta to wartość z pod pierwiastka, jeśli wykonamy takie podstawienie, to otrzymamy znane:

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)