Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wyznacznik macierzy

Aby obliczyć wyznacznik macierzy 1 na 1 należy skorzystać z wzoru:

\(det(A) = \begin{vmatrix}
a_{11} 
\end{vmatrix} = a_{11}\)

np.

\(det(A) = \begin{vmatrix}
5
\end{vmatrix} = 5\)

Aby obliczyć wyznacznik macierzy 2 na 2 wystarczy skorzystać z wzoru:

\(det(A) = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22}-a_{21} \cdot a_{12}\)

np.

\(det(A) = \begin{vmatrix}
-3 & 5\\
-4 & 2
\end{vmatrix} = (-3)\cdot 2-(-4) \cdot 5=-6 \cdot -(-20) = -6+20=14\)


Obliczając wyznacznik macierzy 3 na 3 korzystamy z wzory:

\(det(A)=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}+\)

\(+a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}-a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}-a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}-a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\)

Bardzo dobrym sposobem obliczania wyznacznika macierzy 3 na 3 jest metoda Sarrusa.

Wyznacznik macierzy 4 na 4 posiada dość długą formę dlatego wyznaczniki 4 na 4, 5 na 5 i większe najłatwiej obliczać metodą Laplace'a.

Z macierzą kwadratową ściśle związane jest pojęcie wyznacznika macierzy. Niech dana będzie macierz liczbowa \(A=[a_{ij}]\) o wymiarze \(n \times n\). Wyznacznikiem \(W\) \(n\)-tego stopnia tej macierzy nazywamy liczbę zapisaną w następujący sposób:

\(W = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ...  & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22}  & ...  & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \: \ddots & \vdots \\
 a_{n1} & a_{n2} &  ... & a_{nn}\end{vmatrix}\)

Wyznacznik \(W\) zapisujemy jako \(\text{det}A\) (determinant macierzy \(A\)) lub \(|A|\).

Macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik jest równy zero.
Macierz nieosobliwa to macierz, której wyznacznik jest różny od zera.

Własności wyznacznika macierzy:

 • wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy wyjściowej \(\text{det}A= \text{det}A^T\),

 •
jeśli macierz \(A\) jest stopnia \(n\), to dla dowolnej stałej \(a\) mamy \(\text{det}(aA) =a^n \text{det}A\),

 • zachodzi równość \(\text{det}(AB)= \text{det}A \cdot \text{det} B\),

 • dla macierzy nieosobliwej \(A\) mamy \(\text{det} A^TA> 0\),

 • jeśli w macierzy \(A\) jest wiersz (kolumna) złożony z samych zer to \(\text{det}A= 0\),

 • jeśli w macierzy \(A\) są jednakowe wiersze (kolumny) to \(\text{det}A= 0\),

 • jeśli jakiś wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn) to \(\text{det}A= 0\),

 • jeśli wiersz (kolumnę) macierzy \(A\) pomnożymy przez dowolną liczbę rzeczywistą to wyznacznik powstałej macierzy będzie równy wyznacznikowi macierzy \(A\) pomnożonemu przez tę liczbę,

 • jeśli w macierzy \(A\) zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) to wyznacznik powstałej macierzy będzie równy \(-\text{det}A\),

 • wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli do pewnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę różną od zera,

 • wyznacznik macierzy trójkątnej (pod przekątną same zera) jest równy iloczynowi elementów naprzekątnej.


\begin{vmatrix}
-4 & -1 & -8\\
1 & 0 & -5 \\
-7 & -2 & -9 \end{vmatrix}\)