Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wzór ogólny ciągu

Najlepszym sposobem do zapisania i określenia ciągu liczbowego, jest przedstawienie jego wyrazu ogólnego.

Kilka przykładów wyrazów ogólnych ciągu i przykłady obliczania kolejnych wyrazów tych ciągów:

Przykład 1
\(a_n= 2n+1\)

\(a_1= 2\cdot 1+1=2+1=3\)

\(a_2=2\cdot 2+1=4+1=5\)

\(a_3=2\cdot 3+1=6+1=7\)

\(a_4=2\cdot 4+1=8+1=9\)

Przykla 2
\(a_n= 3^{n-1}\)

\(a_1= 3^{1-1}=3^0=1\)

\(a_2= 3^{2-1}=3^1=3\)

\(a_3= 3^{3-1}=3^2=9\)

\(a_4= 3^{4-1}=3^3=27\)

Przykład 3
\(a_n= \dfrac{2+n}{5n+1}\)

\(a_1= \dfrac{2+1}{5\cdot 1+1}=\dfrac{3}{5+1}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

\(a_2= \dfrac{2+2}{5\cdot 2+1}=\dfrac{4}{10+1}=\dfrac{4}{11}\)

\(a_3= \dfrac{2+3}{5\cdot 3+1}=\dfrac{5}{15+1}=\dfrac{5}{16}\)

\(a_4= \dfrac{2+4}{5\cdot 4+1}=\dfrac{6}{20+1}=\dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7}\)

Bardzo często można spotkać się z zadaniami, w których podany jest ogólny wyraz ciągu. Natomiast trzeba wyliczyć wyrażenie zawierające określony wyraz.


Przykładowe zadania

 Zad. 1) Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n=\dfrac{2n+3}{n^2+3}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2a_1+\dfrac{a_3}{a_2}\). Zobacz rozwiązanie

 Zad. 2) Dany jest ciąg \( a_n=(-1)^n+\dfrac{(-3)^n\cdot2 n}{3n+11} \). Oblicz \(a_1\), \(a_3\), \(a_4\). Zobacz rozwiązanie.

 Zad. 3) Które wyrazy ciągów przyjmują wartość 2? Zobacz rozwiązanie.

\(a)\: a_n=\dfrac{5n+3}{2n+4} \:\:\:\:\:\:b)\: a_n=\dfrac{2n}{n+1} \:\:\:\:\:\:c) \:a_n=\dfrac{n+6}{12n-7}\)

 Zad. 4) Które wyrazy ciągów przyjmują wartość \(-3\)? Zobacz rozwiazanie.

\(a)\: a_n=-n^2+4n-3 \:\:\:\:\:\:b)\: a_n=n^2-2n+5 \:\:\:\:\:\:c) \:a_n=5n^2+4-1\)

 Zad. 5) Czy ciag \(a_n=n^2+2n-3\) posiada wyrazy ujemne, jeśli tak to jakie? Zobacz rozwiązanie.

 Zad. 6) Wskaż wszystkie wyrazy ciągu \(a_n=-n^2+10n-6\) których wartość jest większa od 3. Zobacz rozwiązanie.