Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wzory Viete’a

Mając równanie kwadratowe \(ax^2+bx+c=0\) oraz wiedząc, że \(x_1\) oraz \(x_2\) są rozwiązaniami równania to dane są wyrażenia.

Wzory Viete’a

Jeżeli \(\Delta \geqslant 0\) to:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

Wzory Viete’a często używane są do sprawdzania czy pierwiastki równania są określonych znaków.

1) Warunkiem aby równanie posiadało rozwiązanie jest:
\(\Delta \geqslant 0\)

2) Aby równanie posiadało jedno rozwiązanie:
\(\Delta=0\)

3) Aby równanie posiadało dwa rozwiązania:
\(\Delta>0\)

4) Aby równanie posiadało dwa rozwiązania dodatnie:
\(x_1+x_2 \geqslant 0\) oraz \(x_1\cdot x_2 \geqslant 0\)

5) Aby równanie posiadało dwa pierwiastki ujemne:
\(x_1+x_2 \leqslant 0\) oraz \(x_1\cdot x_2 \geqslant 0\)

6) aby równanie posiadało dwa rozwiązania o takich samych znakach:
\(x_1\cdot x_2 \geqslant 0\)

7) aby równanie posiadało dwa pierwiastki o różnych znakach:
\(x_1\cdot x_2 \leqslant 0\)

Przydatne przekształcenia wzorów przy korzystaniu z wzorów Viete’a.

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\)

\(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=-\frac{b}{a} \left ( \frac{b^2}{a^2}-\frac{3c}{a} \right )\)

\(\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}=\cfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{b}{c}\)
Zad. 1) Wyznacz wartość parametru m, dla którego równanie \(x+2mx+m^2-1=0\) suma pierwiastków wynosi 6.       Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Wyznacz wartość parametru m dla którego równanie \(mx^2+(m+3)x-1=0\) posiada dwa pierwiastki dodatnie.       Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Dla jakiego parametru m suma kwadratów pierwiastki równania \(x^2+(m-1)x+m=0\) jest równa 1.      Zobacz rozwiązanie