Życie jest wspaniałe, należy tylko spoglądać na nie przez właściwe okulary. Alexandre Dumas

Zamiana ułamków okresowych na zwykłe

Zamiana ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły, wymaga znajomości równań. Przeanalizowanie przykładu powinno wyjaśnić schemat:
Zamieńmy ułamek \(0,2377777\cdots \), często można spotkać się również z postacią \(0,23(7)\), obie wersje są poprawne i przedstawiają tą samą liczbę:
zapisujemy dany ułamek jako \(x\)

\(x=0,23(7) \)

następnie mnożymy równanie przez potęgę liczby 10 (czyli 10, 100, 1000, …) w taki sposób, aby cyfry nie będące w nawiasie stały się całościami:

\(x=0,23(7) \: / \: \cdot \: 100 \)

\(100x=23,(7) \)

następniemnożymy przez potęgę liczby 10, wartość potęgi to ilość liczb będących w nawiasie:

\(100x=23,(7) \: / \: \cdot \: 10\)

\(1000x=237,(7) \)

odejmujemy równania stronami i rozwiązujemy:

\(1000x-100x=237,(7)-23,(7)\)

\(900x=214\)

\(x=\dfrac{214}{900}\)

Wykorzystujemy ten schemat zawsze przy zamianie liczb okresowych. Jeśli ktoś chce się nauczyć na pamięć sposobu, a nie zrozumieć schemat, to można sposób zamieniania zapisać w punktach.
Sposób do zapamiętania:
- mamy liczbę, której okres jest zapisany w nawiasie \(0,23(7)\),
- zapisujemy liczbę z wszystkich cyfr, jakie mamy - \(237\). Od tej liczby odejmujemy liczbę utworzoną z cyfr nie będących w nawiasie \(23\). Wyliczona wartość to licznik.
- tworzymy liczbę, która składa się z dziewiątek i z zer. Ilość dziewiątek to ilość cyfr w nawiasie naszej liczby, natomiast ilość zer to liczba cyfr między nawiasem a przecinkiem w danej liczbie. Otrzymana liczba to mianownik.
Przykład:

\(0,23(7) =\dfrac{237-23}{900}=\dfrac{214}{900}\)

Przykładowe zadania

Zad. 1) Zamień ułamek okresowy, na ułamek zwykły:

a) \(0,6(6)\)

b) \(0,(15)\)

c) \(0,1(22)\)

d) \(0,0(13)\)

e) \(0,(8)\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły bez stosowania równań:

a) \(0,9(663)\)

b) \(0,(3)\)

c) \(6,112(5)\)

d) \(0,86(461)\)

e) \(0,6(4229)\)

f) \(0,607(91)\)      Zobacz rozwiązanie