Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązywania układów równań


Metoda ta polega na:
1) zapisaniu układu równań w postaci macierzowej (bardzo łatwe),
2) obliczenie macierzy odwrotnej (trudność zależy od ilości równań)
3) pomnożenie obliczonej macierzy odwrotnej z macierzą wynikową
4) zapisanie wyników 

Kiedy można stosować metodę macierzy odwrotnej do rozwiązywania równań:
- wyznacznik macierzy jest różny od zera
- ilość niewiadomych jest równa ilości równań

Wyjaśnimy tą metodę na przykładzie 3 równań z 3 niewiadomymi. Niech dany będzie układ równań taki, że:

\(\left\{\begin{matrix}
2x\:-y\:+z=7\\
\:x\:-y\:2z=6\\
5x-2y+2z=15 
\end{matrix}\right.\) 

patrząc na nasz układ w ten sposób:

\(\left\{\begin{matrix}
{\color{DarkRed}{2}}x\:{\color{DarkRed}{-1}}y\:{\color{DarkRed}{+1}}z={\color{DarkGreen}{7}}\\
\:{\color{DarkRed}{1}}x\:{\color{DarkRed}{-1}}y\:{\color{DarkRed}{+2}}z={\color{DarkGreen}{6}}\\
{\color{DarkRed}{5}}x{\color{DarkRed}{-2}}y{\color{DarkRed}{+2}}z={\color{DarkGreen}{15}}
\end{matrix}\right.\)

 
nasz układ możemy zapisać w postaci:

\(\begin{matrix}
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\color{DarkRed}{A}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\color{DarkGreen}B}\\
{\color{DarkRed}{\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
1 & -1 & 2\\
5 & -2 & 2
\end{bmatrix}}}\cdot \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}={\color{DarkGreen}{\begin{bmatrix}
7\\
6\\
15
\end{bmatrix}}}
\end{matrix}\)

tak więc nasz układ równań możemy zapisać w postaci 

\(A \cdot x = B\)

najpierw trzeba sprawdzić czy wyznacznik macierzy \(A\) jest różny od zera:

\(det(A)=\begin{vmatrix}
2 & -1 & 1\\
1 & -1 & 2\\
5 & -2 & 2
\end{vmatrix} =-1\)

wyznacznik jest równy \(-1\) czyli jest różny od zera, aby rozwiązać zwykłe równanie \(Ax=B\) trzeba obie strony równania podzielić przez \(A\), jednak tu mamy macierze i strawa wygląda troszkę inaczej, aby pozbyć się \(A\) z lewej strony równania trzeba pomnożyć obie strony równania przez \(A^{-1}\) lewostronnie (jest to bardzo ważne, A jest z lewej strony \(x\), poza tym w macierzach \(A\cdot B \neq B\cdot A\), czyli:

\(A^{-1}\cdot A \cdot x = A_{-1}\cdot B\)

a ponieważ \(A^{-1}\cdot A =1\) to możemy zapisać:

\(x=A^{-1}\cdot B\)

Z tego właśnie powodu musimy obliczyć macierz odwrotną do macierzy \(A\), nasza macierz odwrotna będzie wynosić:

\(A^{-1}=\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1\\
-8 & 1 & 3\\
-3 & 1 & 1
\end{bmatrix}\)

teraz nasz układ wygląda tak:

\(x=A^{-1}\cdot B\) czyli

\(\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1\\
-8 & 1 & 3\\
-3 & 1 & 1
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
7\\
6\\
15
\end{bmatrix}\)

po wymnożeniu macierzy \(A^{-1}\cdot B\) otrzymamy:


\(\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\:\:\:1\\
-5\\
\:\:\:0
\end{bmatrix}\)

a więc rozwiązaniem naszego równania jest:

\(\left\{\begin{matrix}
x=\:\:\:1\\
y=-5\\
z=\:\:\:0
\end{matrix}\right.\)

W taki oto, moim zdaniem dość prosty sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu równań.