Pewność, że Bóg istnieje, pewność, która nadaje sens życiu, jest znacznie bardziej pociągająca niż możność czynienia zła bezkarnie. Albert Camus

Ekstremum funkcji (minimum, maksimum)


Ekstremum funkcji pochodzi od łacińskiego słowa extremus oznaczającego skrajny, krańcowy, ostatni i jest to maksimum bądź minimum. W oddzielnym artykule zaprezentowano przykład obliczania ekstremum funkcji.
Ekstremum funkcji

Definicja ekstremum

Jeżeli wartość funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jest nie mniejsza od wartości tej funkcji w dostatecznie małym otoczeniu punktu \(x_0\), tj. 

\(f(x_0)\geqslant f(x)\)    dla    \(x\epsilon U(x_0,\delta )\)  (sąsiedztwo),

to w punkcie \(x_0\) funkcja osiąga maksimum lokalne; gdy

\(f(x_0)> f(x)\)    dla    \(x\epsilon S(x_0,\delta )\)  (sąsiedztwo),

wtedy funkcja w punkcie \(x_0\) posiada maksimum właściwe.

Jeżeli wartość funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jest nie większa od wartości tej funkcji w dostatecznie małym otoczeniu punktu \(x_0\), tj.

\(f(x_0)\leqslant f(x)\)     dla     \(x\epsilon U(x_0,\delta )\)  (sąsiedztwo),

to mówimy o minimum lokalnym w punkcie \(x_0\); gdy

\(f(x_0)< f(x)\) dla \(x\epsilon S(x_0,\delta )\) (sąsiedztwo),

to funkcja w punkcie \(x_0\) posiada minimum właściwe.

gdzie:

\(S(x_0,\delta )=S^-(x_0,\delta )\cup S^+(x_0,\delta )\)

\(U(x_0,\delta )=U^-(x_0,\delta )\cup U^+(x_0,\delta )\)



Warunek konieczny istnienia ekstremum. Twierdzenie Fermata. 

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w punkcie \(x_0\) funkcji \(f(x)\) różniczkowalnej w tym punkcie jest zerowanie się pierwszej pochodnej w tym punkcie, \(f'(x)=0\).


Twierdzenie Fermata nie rozstrzyga ostatecznie i istnieniu ekstremum, np. pochodna z funkcji \(f(x)=x^3\) wynosi \(f'(x)=3x^2\) i jest równa zero dla \(x=0\), jednak w tym punkcie nie ma ekstremum. Poza warunkiem koniecznym istnienia ekstremum trzeba spełnić warunek wystarczający istnienia ekstremum.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum:

Warunkiem wystarczającym na to, by funkcja różniczkowalna w otoczeniu \(U(x_0,\delta )\) posiadała w punkcie \(x_0\) ekstremum lokalne jest, by:
1) \(f'(x)=0\)
2)
    a) \(f'(x) > 0\) dla \(x_0-\delta <x<x_0\)  i  \(f'(x)<0\) dla \(x_0<x<x_0+\delta\) funkcja osiąga maksimum lokalne

    b) \(f'(x) < 0\) dla \(x_0-\delta <x<x_0\) i \(f'(x)>0\) dla \(x_0<x<x_0+\delta\) funkcja osiąga minimum lokalne

Można to przeczytać:

Jeśli przy zerowaniu się pierwszej pochodnej w punkcie \(x_0\) następuje zmiana znaku tej pochodnej przy przejściu przez ten punkt \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) jest ekstremum lokalne, przy czym przy zmianie znaku z minusa na plus jest minimum lokalne, przy zmianie z plusa na minus jest maksimum lokalne.