Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji określa najczęściej, że funkcja jest rosnąca lub malejąca lub stała. Gdy mówimy o funkcji rosnącej to znaczy, że na wykresie patrząc od lewej strony funkcja najpierw jest nisko a im dalej w prawą stronę tym jest wyżej, funkcja malejącą, im dalej w prawą stroną tym funkcja jest niżej na wykresie, funkcja stała na wykresie jest reprezentowana przez poziomą linię prostą. Badając monotoniczność możemy też stwierdzić że funkcja jest nie malejąca lub nie rosnąca. W określaniu monotoniczności z pomocą przychodzi rachunek różniczkowy (pochodna), jeśli z danej funkcji obliczymy pochodną, to funkcja rosnąca jest wtedy gdy pochodna funkcji przyjmuje wartości większe od zera, jest malejąca gdy pochodna funkcji jest mniejsza od zera, oraz jest stała gdy pochodna funkcji przyjmuje wartość równą zero.

Funkcja rosnąca
Funkcja rosnąca
Funkcję \(f\) nazywa się rosnącą w zbiorze (przedziale) \(X\), jeżeli dla każdej pary argumentów \(x_1, x_2 \in X\) z nierówności \(x_1 < x_2\) wynika równość \(f(x_1) < f(x_2)\)


\(\bigwedge\limits_{x_1, x_2 \in X } x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\) gdzie \(X \subset D_f\)
Funkcja malejąca
Funkcja malejąca
Funkcję \(f\) nazywa się malejącą w zbiorze (przedziale) \(X\), jeżeli dla każdej pary argumentów \(x_1, x_2 \in X\) z nierówności \(x_1 < x_2\) wynika \(f(x_1) > f(x_2)\)


\(\bigwedge\limits_{x_1, x_2 \in X } x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\) gdzie \(X \subset D_f\)

Funkcja stała
Funkcja stała
Funkcja \(f: X \rightarrow Y\) jest funkcją stałą, jeżeli istnieje \(c \in Y\), że dla każdego \(x \in X\), \(f(x) = c\)

\(f(x) = c\)


Funkcja nierosnąca

Funkcję \(f\) nazywa się nierosnąca w zbiorze (przedziale) \(X\), jeżeli dla każdej pary argumentów \(x_1, x_2 \in X\) z nierówności \(x_1 < x_2\) wynika  \(f(x_1) \geqslant  f(x_2)\)


\(\bigwedge\limits_{x_1, x_2 \in X } x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geqslant f(x_2)\) gdzie \(X \subset D_f\)

O funkcji nierosnącej mówimy gdy funkcja jest trochę malejąca i trochę stała w danym przedziale.

Funkcja niemalejąca

Funkcję \(f\) nazywa się niemalejącą w zbiorze (przedziale) \(X\), jeżeli dla każdej pary argumentów \(x_1, x_2 \in X\) z nierówności \(x_1 < x_2\) wynika  \(f(x_1) \leqslant  f(x_2)\)


\(\bigwedge\limits_{x_1, x_2 \in X } x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leqslant f(x_2)\) gdzie \(X \subset D_f\)

O funkcji niemalejącej mówimy gdy funkcja jest troche rosnąca i trochę stała w danym przedziale.

Funkcja niemonotoniczna

Funkcja niemonotoniczna to funkcja, która w danym przedziale jest i malejąca i rosnąca, aby wyznaczyć jej monotoniczność musimy podzielić daną funkcję na przedziały w których jest rosnąca oraz oddzielne w których jest malejąca oraz stała. Najprostszym przykładem funkcji niemonotonicznej jest parabola \(f(x)=x^2\) w połowie jest malejąca w drugiej połowie jest rosnąca ale całościowo jest niemonotoniczna.

Jak wyznaczać monotoniczność funkcji?

Najczęściej monotoniczność wyznacza się z wykresu funkcji, gdy wykres funkcji rośnie patrząc od lewej do prawej to funkcja jest rosnąca, jeśli jest odwrotnie to funkcja jest malejąca, jeśli wykres jest poziomy to mamy funkcję stałą. Gdy mamy tylko wzór, to najszybciej będzie podjąć się narysowania wykresu funkcji, chyba że znane jest wam pojęcie pochodnej. Często najszybszym i najłatwiejszym sposobem obliczania monotoniczności funkcji jest obliczenie pochodnej z danej funkcji, a następnie określenie przedziałów dla jakich wartości pochodnej funkcji są ujemne oraz dodatnie. Jeśli pochodna funkcji przyjmuje wartości ujemne w danym przedziale to funkcja jest malejąca, jeśli przyjmuje wartości dodatnie to funkcja jest rosnąca, jeśli pochodna funkcji jest równa zero w danym przedziale to funkcja jest stała.

Przykład

Niech dana będzie funkcja \(f(x)= x^2+2x+17\). Aby wyznaczyć monotoniczność funkcji obliczymy pochodną danej funkcji:

\(f'(x)=2x+2\)

teraz taką funkcję będzie łatwo narysowań - jest to funkcja liniowa (wykresem będzie prosta), wystarczy obliczyć miejsca przecięcia z osią OX oraz sprawdzić znak funkcji w danym przedziale, więc:

\(2x+2=0\)    \(2x=-2\)    \(x=-1\)

miejscem przecięcia się danej funkcji z osią OX jest \(x=-1\), więc będziemy mieli dwa przedziały monotoniczności \((-\infty ;-1>\) oraz \((-1;+\infty )\), teraz pozostaje nam sprawdzić znak funkcji w danym przedziale. Z pierwszego przedziału sprawdzimy liczbę \(-4\) (bo należy do przedziału \((-\infty ;-1>\)):

\(f'(-4)=2\cdot (-4)+2=-8+2=-6\)

tak więc znak pochodnej funkcji w przedziale \((-\infty ; -1>\)
 jest ujemny (bo wyszło nam minus sześć), oznacza to, że funkcja w tym przedziale jest malejąca. Analogicznie sprawdzamy znak funkcji w przedziale \((-1; +\infty )\)

\(f'(10)=2\cdot 10+2=20+2=22\)

znak pochodnej funkcji w przedziale \((-1;+\infty )\) jest dodatni, oznacza to, że funkcja jest rosnąca w tym przedziale.

Podsumowując - funkcja \(f(x)= x^2+2x+17\)

 - jest malejąca w przedziale \((-\infty ; -1>\)

 - rosnąca w przedziale \((-1; +\infty )\).