Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Parzystość i nieparzystość funkcji

Funkcja parzysta
Funkcja parzysta
Funkcję \(f\) określoną w zbiorze \(D_f\) nazywamy parzystą jeżeli dla każdego \(x \in D_f\) liczba \(-x \in D_f\) oraz \(f(-x) = f(x)\)

\(\bigwedge\limits_{x \in D_f}[ - x \in D_f ∧  f(-x) = f(x)]\)

Funkcja \(f\) jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy oś \(OY\) jest osią symetrii wykresu tej funkcji.

Przykłady funkcji parzystych:

 • \(f(x)= cos \: x\)

  \(f(x)=\left | x \right |\)

  \(f(x)= x^2\:\: ; \: f(x)=x^4\)

Funkcja nieparzysta

Funkcja nieparzysta


Funkcję \(f\) określoną w zbiorze \(D_f\) nazywamy nieparzystą jeżeli dla każdego \(x \in D_f\) liczba \(-x \in D_f\) oraz \(f(-x) = - f(x)\)

\(\bigwedge\limits_{x \in D_f}[ - x \in D_f \wedge  f(-x) = -f(x)]\)

Funkcja \(f\) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(O = (0,0)\) jest środkiem symetrii wykresu tej funkcji.

Przykłady funkcji parzystych:

  \(f(x)= sin \: x\)

  \(f(x)=2x\: \: ; \: f(x)=4x\)


  \(f(x)= x^3\:\: ; \: f(x)=x^5\)



przykład sprawdzania czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta:

1) niech dana będzie funkcja \(f(x)=7x^2+4\)

najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji \(D_f=R\)

następnie sprawdzamy czy \(f(x)=f(-x)\)

\(f(-x)=7(-x)^2+4=7x^2+4=f(x)\)

tak więc funkcja jest funkcją parzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY

2) niech dana będzie funkcja \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+7}\)

najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji \(D_f=R\)

następnie sprawdzamy czy \(f(x)=f(-x)\)

\(f(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^2+7}=\dfrac{-2x}{x^2+7}=-\dfrac{2x}{x^2+7}=-f(x)\)

tak więc podana funkcja spełnia warunek \(f(-x)=-f(x)\) co oznacza, że funkcja jest nieparzysta, na wykresie oznacza to, że jest symetryczna względem punktu \(O = (0,0)\)