Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Punkt przegięcia

Punkt \(P_0(x_0;f(x_0))\) nazywamy punktem przegięcia krzywej jeżeli w lewostronnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) krzywa jest wklęsła, a w prawostronnym sąsiedztwie wypukła, ewentualnie odwrotnie, czyli w lewostronnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) krzywa jest wypukła, a w prawostronnym sąsiedztwie wklęsła (przykład). Teoria ta jest ściśle związana z pojęciem wklęsłości i wypukłości funkcji (definicją, przykład).


Punkt przegięcia
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Warunkiem koniecznym istnienia w punkcie \(x_0\) punktu przegięcia w przypadku gdy funkcja \(y=f(x)\) ma druga pochodną w otoczeniu punktu \(x_0\), jest \(f''(x_0)=0\).

Oznacz to, że aby istniał punkt przegięcia wartość drugiej pochodnej w tym punkcie musi być równa zero, nie jest to jednak warunek wystarczający.

Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja w pewnym otoczeniu \(\eta\) punktu \(x_0\) ma ciągłą drugą pochodną i spełnia następujące warunki:

1) druga pochodna w punkcie \(P_0(x_0;f(x_0))\) jest równa zero - \(f(x_0)=0\)

2) jeden z podpunktów a) lub b)

    a) w lewostronnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) druga pochodna jest ujemna, a prawostronna dodatnia

       \(f''(x)<0\)    dla    \(x_0-\eta<x<x_0\)    oraz

       \(f''(x)>0\)    dla    \(x_0<x<x_0+\eta\)    

    b) w lewostronnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) druga pochodna jest dodatnia, a prawostronna ujemna

       \(f''(x)>0\)    dla    \(x_0-\eta<x<x_0\)    oraz


       \(f''(x)<0\)    dla    \(x_0<x<x_0+\eta\)
   

to w punkcie \(P_0(x_0;f(x_0))\) krzywa \(y=f(x)\) posiada punkt przegięcia